Глава 8. Статистика нечисловых данных

	Статистика нечисловых данных - это направление в эконометрике, в котором в качестве исходных статистических данных (результатов наблюдений) рассматриваются объекты нечисловой природы. Так принято называть объекты, которые нецелесообразно описывать числами, в частности элементы нелинейных пространств. Примерами являются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и др.), результаты парных и множественных сравнений, множества, нечеткие множества, измерение в шкалах, отличных от абсолютных. Этот перечень примеров не претендует на законченность. Он складывался постепенно в соответствии с развитием теоретических исследований в области статистики нечисловых данных и расширением опыта применений этого направления эконометрики.
	Объекты нечисловой природы широко используются в теоретических и прикладных исследованиях по экономике, менеджменту и другим проблемам управления, в частности управления качеством продукции, в технических науках, социологии, психологии, медицине и т.д., а также практически во всех отраслях народного хозяйства.  

8.1. Объекты нечисловой природы

 	Начнем с первоначального знакомства с основными видами объектов нечисловой природы.
	Результаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной. Рассмотрим конкретное исследование в области маркетинга образовательных услуг, послужившее поводом к развитию отечественных исследований по теории измерений (см. главу 3). При изучении привлекательности различных профессий для выпускников новосибирских школ был составлен список из 30 профессий. Опрашиваемых просили оценить каждую из этих профессий одним из баллов 1,2,...,10 по правилу: чем больше нравится, тем выше балл. Для получения социологических выводов необходимо было дать единую оценку привлекательности определенной профессии для совокупности выпускников школ. В качестве такой оценки в работе [1] использовалось среднее арифметическое баллов, выставленных профессии опрошенными школьниками. В частности, физика получила средний балл 7,69, а математика - 7,50. Поскольку 7,69 больше, чем 7,50, был сделан вывод, что физика более предпочтительна для школьников, чем математика.
	Однако этот вывод противоречит данным работы [2], согласно которым ленинградские школьники средних классов больше любят математику, чем физику. Обсудим одно из возможных объяснений этого противоречия, которое сводится к указанию на неадекватность (с точки зрения теории измерений) методики обработки эконометрических данных, примененной в работе [1].
	Дело в том, что баллы 1,2,...,10 введены конкретными исследователями, т.е. субъективно. Если одна профессия оценена в 10 баллов, а вторая - в 2, то из этого нельзя заключить, что первая ровно в 5 раз привлекательней второй. Другой коллектив социологов мог бы принять иную систему баллов, например 1,4,9,16,...,100. Естественно предположить , что упорядочивание профессий по привлекательности, присущее школьникам, не зависит от того, какой системой баллов им предложит пользоваться маркетолог. Раз так, то распределение профессий по градациям десятибалльной системы не изменится, если перейти к другой системе баллов с помощью любого допустимого преобразования в порядковой шкале (см. главу 3), т.е. с помощью строго возрастающей функции  Если , Y1, Y2,...,Yn -ответы n выпускников школ, касающихся математики, а Z1, Z2,...,Zn -физики, то после перехода к новой системе баллов ответы относительно математики будут иметь вид  g(Y1), g(Y2),...,g(Yn), а относительно физики -  g(Z1), g(Z2),...,g(Zn).   
	Пусть единая оценка привлекательности профессии вычисляется с помощью функции f(X1, X2,...,Xn). Какие требования естественно наложить на функцию  чтобы полученные с ее помощью выводы не зависели от того, какой именно системой баллов пользовался специалист по маркетингу образовательных услуг?
Замечание. Обсуждение можно вести в терминах экспертных оценок. Тогда вместо сравнения математики и физики n экспертов (а не выпускников школ) оценивают по конкурентоспособности на мировом рынке, например, две марки стали. Однако в настоящее время маркетинговые и социологические исследования более привычны, чем экспертные.
	Единая оценка вычислялась для того, чтобы сравнивать профессии по привлекательности. Ïóñòü f(X1, X2,...,Xn) - ñðåäíåå ïî Êîøè. Ïóñòü ñðåäíåå ïî ïåðâîé ñîâîêóïíîñòè ìåíüøå ñðåäíåãî ïî âòîðîé ñîâîêóïíîñòè:
 f(Y1, Y2,...,Yn) <  f(Z1, Z2,...,Zn ).   
Òîãäà ñîãëàñíî òåîðèè èçìåðåíèé (ñì. ãëàâó 3) íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ g èç ãðóïïû äîïóñòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ïîðÿäêîâîé øêàëå áûëî ñïðàâåäëèâî òàêæå íåðàâåíñòâî 
 f(g(Y1), g(Y2),...,g(Yn)) <  f(g(Z1), g(Z2),...,g(Zn)).   
ò.å. ñðåäíåå ïðåîáðàçîâàííûõ çíà÷åíèé èç ïåðâîé ñîâîêóïíîñòè òàêæå áûëî ìåíüøå ñðåäíåãî ïðåîáðàçîâàííûõ çíà÷åíèé äëÿ âòîðîé ñîâîêóïíîñòè. Ïðè÷åì ñôîðìóëèðîâàííîå óñëîâèå äîëæíî áûòü âåðíî äëÿ ëþáûõ äâóõ ñîâîêóïíîñòåé Y1, Y2,...,Yn è Z1, Z2,...,Zn è, íàïîìíèì, ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ñðåäíèå âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñôîðìóëèðîâàííîìó óñëîâèþ, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè (â ïîðÿäêîâîé øêàëå). Ñîãëàñíî òåîðèè èçìåðåíèé òîëüêî òàêèìè ñðåäíèìè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè àíàëèçå ìíåíèé âûïóñêíèêîâ øêîë, ýêñïåðòîâ è èíûõ äàííûõ, èçìåðåííûõ â ïîðÿäêîâîé øêàëå.
Какие единые оценки привлекательности профессий f(X1, X2,...,Xn) устойчивы относительно сравнения? Ответ на этот вопрос дан в главе 3. В частности, оказалось, что средним арифметическим, как в работе [1] новосибирских специалистов по маркетингу образовательных услуг, пользоваться нельзя, а порядковыми статистиками, т.е. членами вариационного ряда (и только ими) - можно.
	Методы анализа конкретных экономических данных, измеренных в шкалах, отличных от абсолютной, являются предметом изучения в статистике нечисловых данных как части эконометрики. Как известно, основные шкалы измерения делятся на качественные (шкалы наименований и порядка) и количественные (шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная). Методы анализа статистических данных в количественных шкалах сравнительно мало отличаются от таковых в абсолютной шкале. Добавляется только требование инвариантности относительно преобразований сдвига и/или масштаба. Методы анализа качественных данных - принципиально иные. О них пойдет речь в настоящей главе. 
	Напомним, что исходным понятием теории измерений является совокупность  допустимых преобразований шкалы (обычно Ф- группа), . Алгоритм обработки данных W, т.е. функция (здесь A-множество возможных результатов работы алгоритма) называется адекватным в шкале с совокупностью допустимых преобразований Ф, если

для всех  и всех  Таким образом, теорию измерений рассматриваем как теорию инвариантов относительно различных совокупностей допустимых преобразований Ф. Интерес вызывают две задачи: 
а) дана группа допустимых преобразований Ф (т.е. задана шкала); какие алгоритмы анализа данных W из определенного класса являются адекватными?
б) дан алгоритм анализа данных W; для каких шкал (т.е. групп допустимых преобразований Ф) он является адекватным? 
В главе 3 первая задача рассматривалась для алгоритмов расчета средних величин. Информацию о других результатах решения задач указанных типов можно найти в работах [3-5].
Бинарные отношения. Пусть  - адекватный алгоритм в шкале наименований. Можно показать, что этот алгоритм задается некоторой функцией от матрицы  где

	Если  - адекватный алгоритм в шкале порядка, то этот алгоритм задается некоторой функцией от матрицы  порядка n  n, где

	Матрицы B и C можно проинтерпретировать в терминах бинарных отношений. Пусть некоторая характеристика измеряется у n объектов q1,q2,…,qn, причем xi - результат ее измерения у объекта qi Тогда матрицы B и C задают бинарные отношения на множестве объектов Q ={q1,q2,…,qn}. Поскольку бинарное отношение можно рассматривать как подмножество декартова квадрата Q  Q, то любой матрице D = ||dij|| порядка n  n из 0 и 1 соответствует бинарное отношение R(D), определяемое следующим образом:  тогда и только тогда, когда dij = 1.
	Бинарное отношение R(B) - отношение эквивалентности, т.е. рефлексивное симметричное транзитивное отношение. Оно задает разбиение Q на классы эквивалентности. Два объекта qi и qj входят в один класс эквивалентности тогда и только тогда, когда 
	Выше показано, как разбиения возникают в результате измерений в шкале наименований. Разбиения могут появляться и непосредственно. Так, при оценке качества промышленной продукции эксперты дают разбиение показателей качества на группы. Для изучения психологического состояния людей их просят разбить предъявленные рисунки на группы сходных между собой. Аналогичная методика применяется и в иных экспериментальных психологических исследованиях, необходимых для оптимизации управления персоналом.
	Во многих эконометрических задачах разбиения получаются "на выходе" (например, в кластер - анализе) или же используются на промежуточных этапах анализа данных (например, сначала проводят классификацию с целью выделения однородных групп, а затем в каждой группе строят регрессионную зависимость).
	Бинарное отношение R(С) задает разбиение Q на классы эквивалентности, между которыми введено отношение строгого порядка. Два объекта qi и qj входят в один класс тогда и только тогда, когда cij= 1 и cji= 1, т.е. xi = xj. Класс эквивалентности Q1 предшествует классу эквивалентности Q2 тогда и только тогда, когда для любых  имеем cij = 1, cji= 0, т.е. xi < xj. Такое бинарное отношение в статистике часто называют ранжировкой со связями; связанными считаются объекты, входящие в один класс эквивалентности. В литературе встречаются и другие названия: линейный квазипорядок, упорядочение, квазисерия, ранжирование. Если каждый из классов эквивалентности состоит только из одного элемента, то имеем обычную ранжировку (другими словами, линейный порядок).
	Как известно, ранжировки возникают в результате измерений в порядковой шкале. Так, при описанном выше опросе ответ выпускника школы - это ранжировка (со связями) профессий по привлекательности. Ранжировки часто возникают и непосредственно, без промежуточного этапа - приписывания объектам квазичисловых оценок - баллов. Многочисленные примеры тому даны М. Кендэлом [6]. При оценке качества промышленной продукции нормативные методические документы предусматривают использование ранжировок.
	Для прикладных областей, кроме ранжировок и разбиений, представляют интерес толерантности, т.е. рефлексивные симметричные отношения. Толерантность - математическая модель для выражения представлений о сходстве (похожести, близости). Разбиения - частный вид толерантностей. Толерантность, обладающая свойством транзитивности - это разбиение. Однако в общем случае толерантность не обязана быть транзитивной. Толерантности появляются во многих постановках теории экспертных оценок, например, как результат парных сравнений (см. ниже).
	Напомним, что любое бинарное отношение на конечном множестве может быть описано матрицей из 0 и 1.
Дихотомические (бинарные) данные. Это данные, которые могут принимать одно из двух значений (0 или 1), т.е. результаты измерений значений альтернативного признака. Как уже было показано, измерения в шкале наименований и порядковой шкале приводят к бинарным отношениям, а те могут быть выражены как результаты измерений по нескольким альтернативным признакам, соответствующим элементам матриц, описывающих отношения. Дихотомические данные возникают в прикладных исследованиях и многими иными путями.
	В настоящее время в большинстве стандартов на конкретную продукцию предусмотрен контроль по альтернативному признаку. Это означает, что единица продукции относится к одной из двух категорий - "годных" или "дефектных", т.е. соответствующих или не соответствующих требованиям стандарта. Отечественными специалистами проведены обширные теоретические исследования проблем статистического приемочного контроля по альтернативному признаку. Основополагающими в этой области являются работы академика А.Н.Колмогорова. Подход советской вероятностно-статистической школы к проблемам контроля качества продукции отражен в монографиях [7,8] (см. также главу 13). 
 	Дихотомические данные - давний объект математической статистики. Особенно большое применение они имеют в экономических и социологических исследованиях, в которых большинство переменных, интересующих специалистов, измеряется по качественным шкалам. При этом дихотомические данные зачастую являются более адекватными, чем результаты измерений по методикам, использующим большее число градаций. В частности, психологические тесты типа MMPI используют только дихотомические данные. На них опираются и популярные в технико-экономическом анализе методы парных сравнений [9].
	Элементарным актом в методе парных сравнений является предъявление эксперту для сравнения двух объектов (сравнение может проводиться также прибором). В одних постановках эксперт должен выбрать из двух объектов лучший по качеству, в других - ответить, похожи объекты или нет. В обоих случаях ответ эксперта можно выразить одной из двух цифр (меток)- 0 или 1. В первой постановке: 0, если лучшим объявлен первый объект; 1 - если второй. Во второй постановке: 0, если объекты похожи, схожи, близки; 1 - в противном случае.
	Подводя итоги изложенному, можно сказать, что рассмотренные выше данные представимы в виде векторов из 0 и 1 (при этом матрицы, очевидно, могут быть записаны в виде векторов). Поскольку все результаты наблюдений имеют лишь несколько значащих цифр, то, используя двоичную систему счисления, любые виды анализируемых эконометрическими методами данных можно записать в виде векторов из 0 и 1. Представляется, что эта возможность имеет лишь академический интерес, но во всяком случае можно констатировать, что анализ дихотомических данных необходим во многих прикладных постановках.
Множества. Совокупность Xn векторов X = (x1, x2,…,xn) из 0 и 1 размерности n находится во взаимно-однозначном соответствии с совокупностью 2n всех подмножеств множества N = {1, 2, ..., n}. При этом вектору X = (x1, x2,…,xn) соответствует подмножество N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых xi = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, можно вести на языке конечных случайных множеств, как это было сделано в монографии .[3]. 
	Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж. Матерон, из электротехнических - Н.Н. Ляшенко и др. Случайные множества применялись для описания процесса случайного распространения, например распространения информации, слухов, эпидемии или пожара, а также в математической экономике. В монографии [3] рассмотрены приложения случайных множеств в теории экспертных оценок и в теории управления запасами и ресурсами (логистике).
	Отметим, что реальные объекты можно моделировать случайными множествами как из конечного числа элементов, так и из бесконечного, однако при расчетах на ЭВМ неизбежна дискретизация, т.е. переход к первой из названных возможностей.
Нечеткие множества. Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией
			(1)
	Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности  Если функция принадлежности  имеет вид (1) при некотором B, то C есть обычное (четкое) подмножество A.
	Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.
	Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ.  
	Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами. 
	Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.   
 	Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D- два нечетких подмножества A с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением CD, объединением , отрицанием , суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности

соответственно.
	Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен в книгах [3,10]. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.
Объекты нечисловой природы как статистические данные. В эконометрике и прикладной математической статистике наиболее распространенный объект изучения - выборка x1, x2,…,xn, т.е. совокупность результатов n наблюдений. В различных областях статистики результат наблюдения - это или число, или конечномерный вектор, или функция... Соответственно проводится деление прикладной математической статистики: одномерная статистика, многомерный статистический анализ, статистика временных рядов и случайных процессов... В статистике нечисловых данных в качестве результатов наблюдений рассматриваются объекты нечисловой природы, в частности, перечисленных выше видов - измерения в шкалах, отличных от абсолютной, бинарные отношения, вектора из 0 и 1, множества, нечеткие множества. Выборка может состоять из n ранжировок или n толерантностей, или n множеств, или n нечетких множеств и т.д.
	Отметим необходимость развития методов статистической обработка "разнотипных данных", обусловленную большой ролью в прикладных исследованиях "признаков смешанной природы". Речь идет о том, что результат наблюдения состояния объекта зачастую представляет собой вектор, у которого часть координат измерена по шкале наименований, часть - по порядковой шкале, часть - по шкале интервалов и т.д. Статистические методы ориентированы обычно либо на абсолютную шкалу, либо на шкалу наименований (анализ таблиц сопряженности), а потому зачастую непригодны для обработки разнотипных данных. Есть и более сложные модели разнотипных данных, например, когда некоторые координаты вектора наблюдений описываются нечеткими множествами.
	Для обозначения подобных неклассических результатов наблюдений в 1979 г. в монографии [3] предложен собирательный термин - объекты нечисловой природы. Термин "нечисловой" означает, что структура пространства, в котором лежат результаты наблюдений, не является структурой действительных чисел, векторов или функций, она вообще не является структурой линейного (векторного) пространства. При расчетах объекты числовой природы, разумеется, изображаются с помощью чисел, но эти числа нельзя складывать и умножать.
	С целью "стандартизации математических орудий" целесообразно разрабатывать методы статистического анализа данных, пригодные одновременно для всех перечисленных выше видов результатов наблюдений. Кроме того, в процессе развития прикладных исследований выявляется необходимость использования новых видов объектов нечисловой природы, отличных от рассмотренных выше, например, в связи с развитием статистических методов обработки текстовой информации. Поэтому целесообразно ввести еще один вид объектов нечисловой природы - объекты произвольной природы, т.е. элементы множества, на которые не наложено никаких условий (кроме "условий регулярности", необходимых для справедливости доказываемых теорем). Другими словами, в этом случае предполагается, что результаты наблюдений (элементы выборки) лежат в произвольном пространстве X. Для получения теорем необходимо потребовать, чтобы X удовлетворяло некоторым условиям, например, было так называемым топологическим пространством. Как известно, ряд результатов классической математической статистики получен именно в такой постановке. Так, при изучении оценок максимального правдоподобия элементы выборки могут лежать в пространстве произвольной природы. Это не влияет на рассуждения, поскольку в них рассматривается лишь зависимость плотности вероятности от параметра. Методы классификации, использующие лишь расстояние между классифицируемыми объектами, могут применяться к совокупностям объектов произвольной природы, лишь бы в пространстве, где они лежат, была задана метрика. Цель статистики нечисловых данных (в некоторых литературных источниках используется термин "статистика объектов нечисловой природы") состоит в том, чтобы систематически рассматривать методы статистической обработки данных как произвольной природы, так и относящихся к указанным выше конкретным видам объектов нечисловой природы, т.е. методы описания данных, оценивания и проверки гипотез. Взгляд с общей точки зрения позволяет получить новые результаты и в других областях эконометрики.
Использование объектов нечисловой природы при формировании математической модели реального явления. Использование объектов нечисловой природы часто порождено желанием обрабатывать более объективную, более освобожденную от погрешностей информацию. Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах. Другими словами, использование объектов нечисловой природы - средство повысить устойчивость эконометрических и экономико-математических моделей реальных явлений. Сначала конкретные области статистики объектов нечисловой природы (а именно, прикладная теория измерений, нечеткие и случайные множества) были рассмотрены в монографии [3] как частные постановки проблемы устойчивости математических моделей социально-экономических явлений и процессов к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели, а затем была понята необходимость проведения работ по развитию статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного научного направления.
	Начнем со шкал измерения. Науку о единстве мер и точности измерений называют метрологией. Таким образом, репрезентативная теория измерений - часть метрологии. Методы обработки данных должны быть адекватны относительно допустимых преобразований шкал измерения в смысле репрезентативной теории измерений. Однако установление типа шкалы, т.е. задание группы преобразований  - дело специалиста соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы считали измеренными в порядковой шкале. Однако отдельные социологи не соглашались с этим, считая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлен достаточно трудоемкий эксперимент. Пока же он не поставлен, целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.
	Порядковые шкалы широко распространены не только в социально-экономических исследованиях. Они применяются в медицине - шкала стадий гипертонической болезни по Мясникову, шкала степеней сердечной недостаточности по Стражеско-Василенко-Лангу, шкала степени выраженности коронарной недостаточности по Фогельсону; в минералогии - шкала Мооса (тальк - 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10), по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости; в географии - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и др.) и т.д. Напомним, что по шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой, на которой не отмечены ни начало, ни единица измерения; по шкале отношений - большинство физических единиц: массу тела, длину, заряд, а также цены в экономике. Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее), затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра) и, наконец, после открытия абсолютного нуля температур - по шкале отношений (шкала Кельвина). Следует отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. 
Отметим, что термин "репрезентативная" использовался, чтобы отличить рассматриваемый подход к теории измерений от классической метрологии, а также от работ А.Н.Колмогорова и А. Лебега, связанных с измерением геометрических величин, от "алгоритмической теории измерения" и др.
	Необходимость использования в математических моделях реальных явлений таких объектов нечисловой природы, как бинарные отношения, множества, нечеткие множества, кратко была показана выше. Здесь же обратим внимание, что используемые в классической статистике результаты наблюдений также "не совсем числа". А именно, любая величина X измеряется всегда с некоторой погрешностью и результатом наблюдения является

	Как уже отмечалось, погрешностями измерений занимается метрология. Отметим справедливость следующих фактов:
	а) для большинства реальных измерений невозможно полностью исключить систематическую ошибку, т.е. 
	б) распределение  в подавляющем большинстве случаев не является нормальным (см. главу 4); 
	в) измеряемую величину X и погрешность ее измерения  обычно нельзя считать независимыми случайными величинами;
	г) распределение погрешностей оценивается по результатам специальных наблюдений, следовательно, полностью известным считать его нельзя; зачастую исследователь располагает лишь границами для систематической погрешности и оценками таких характеристик для случайной погрешности, как дисперсия или размах.
	Приведенные факты показывают ограниченность области применимости распространенной модели погрешностей, в которой X и  рассматриваются как независимые случайные величины, причем  имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.
	Строго говоря, результаты наблюдения всегда имеют дискретное распределение, поскольку описываются числами с небольшими (1 - 5) числом значащих цифр. Возникает дилемма: либо признать, что непрерывные распределения - фикция, и прекратить ими пользоваться, либо считать, что непрерывные распределения имеют "реальные" величины X, которые мы наблюдаем с принципиально неустранимой погрешностью . Первый выход в настоящее время нецелесообразен, так как потребует отказаться от большей части разработанного математического аппарата. Из второго следует необходимость изучения влияния неустранимых погрешностей на статистические выводы.
	Погрешности  можно учитывать либо с помощью вероятностной модели (- случайная величина, имеющая функцию распределения, вообще говоря, зависящую от X), либо с помощью нечетких множеств. Во втором случае приходим к теории нечетких чисел и к ее частному случаю - статистике интервальных данных (см. главу 9).
	Другой источник появления погрешности  связан с принятой в конструкторской и технологической документации системой допусков на контролируемые параметры изделий и деталей, с использованием шаблонов при проверке контроля качества продукции. В этих случаях характеристики  определяются не свойствами средств измерения, а применяемой технологией проектирования и производства. В терминах математической статистики сказанному соответствует группировка данных, при которой мы знаем, какому из заданных интервалов принадлежит наблюдение, но не знаем точного значения результата наблюдения. Применение группировки может дать экономический эффект, поскольку зачастую легче (в среднем) установить, к какому интервалу относится результат наблюдения, чем точно измерить его.
Объекты нечисловой природы как результат статистической обработки данных. Объекты нечисловой природы появляются не только на "входе" статистической процедуры, но и в процессе обработки данных, и на "выходе" в качестве итога статистического анализа.
	Рассмотрим простейшую прикладную постановку задачи регрессии (см. также главу 5). Исходные данные имеют вид . Цель состоит в том, чтобы с достаточной точностью описать y как полином от x, т.е. модель имеет вид
		(2)
где m - неизвестная степень полинома;  - неизвестные коэффициенты многочлена; , - погрешности, которые для простоты примем независимыми и имеющими одно и то же нормальное распределение. (Здесь наглядно проявляется одна из причин живучести модель на основе нормального распределения. Такие модели, хотя и неадекватны реальной ситуации, с математической точки зрения позволяет проникнуть глубже в суть изучаемого явления. Поэтому они пригодны для первоначального анализа ситуации, как и в рассматриваемом случае. Дальнейшие научные исследования должны быть направлены на снятие нереалистического предположения нормальности и перехода к непараметрическим моделям погрешности.) Распространенная процедура такова: сначала пытаются применить модель (2) для линейной функции (m = 1), при неудаче (неадекватности модели) переходят к многочлену второго порядка (m = 2), если снова неудача, то берут модель (2) с m= 3 и т.д. (адекватность модели проверяют по F-критерию Фишера).
Обсудим свойства этой процедуры в терминах математической статистики. Если степень полинома задана (m = m0), то его коэффициенты оценивают методом наименьших квадратов, свойства этих оценок хорошо известны (см., например, главу 5 или монографию [10, гл.26]). Однако в описанной выше реальной постановке m тоже является неизвестным параметром и подлежит оценке. Таким образом, требуется оценить объект (m, a0, a1, a2, …, am), множество значений которого можно описать как  Это - объект нечисловой природы, обычные методы оценивания для него неприменимы, так как m - дискретный параметр. В рассматриваемой постановке разработанные к настоящему времени методы оценивания степени полинома носят в основном эвристический характер (см., например, гл. 12 монографии [11]). Свойства  описанной выше распространенной процедуры рассмотрены в главе 5; где показано, что m при этом оценивается несостоятельно, и найдено предельное распределение оценки этого параметра, оказавшееся геометрическим.
	В более общем случае линейной регрессии данные имеют вид  где  - вектор предикторов (факторов, объясняющих переменных), а модель такова:
		(3)
(здесь K - некоторое подмножество множества {1,2,…,n}; - те же, что и в модели (2); aj - неизвестные коэффициенты при предикторах с номерами из K). Модель (2) сводится к модели (3), если

	В модели (2) есть естественный порядок ввода предикторов в рассмотрение - в соответствии с возрастанием степени, а в модели (3) естественного порядка нет, поэтому здесь стоит произвольное подмножество множества предикторов. Есть только частичный порядок - чем мощность подмножества меньше, тем лучше. Модель (3) особенно актуальна в задачах управления качеством продукции и других технико-экономических исследованиях, в экономике, маркетинге и социологии, когда из большого числа факторов, предположительно влияющих на изучаемую переменную, надо отобрать по возможности наименьшее число значимых факторов и с их помощью сконструировать прогнозирующую формулу (3).
	Задача оценивания модели (3) разбивается на две последовательные задачи: оценивание множества K - подмножества множества всех предикторов, а затем - неизвестных параметров aj. Методы решения второй задачи хорошо известны и подробно изучены. Гораздо хуже обстоит дело с оцениванием объекта нечисловой природы K. Как уже отмечалось, существующие методы - в основном эвристические, они зачастую не являются даже состоятельными. Даже само понятие состоятельности в данном случае требует специального определения. Пусть K0 - истинное подмножество предикторов, т.е. подмножество, для которого справедлива модель (3), а подмножество предикторов Kn - его оценка. Оценка Kn называется состоятельной, если

где  - символ симметрической разности множеств; Card(K) означает число элементов в множестве K, а предел понимается в смысле сходимости по вероятности.
	Задача оценивания в моделях регрессии, таким образом, разбивается на две - оценивание структуры модели и оценивание параметров при заданной структуре. В модели (2) структура описывается неотрицательным целым числом m, в модели (3) - множеством K. Структура - объект нечисловой природы. Задача ее оценивания сложна, в то время как задача оценивания численных параметров при заданной структуре хорошо изучена, разработаны эффективные (в смысле математической статистики) методы.
	Такова же ситуация и в других методах многомерного статистического анализа - в факторном анализе (включая метод главных компонент) и в многомерном шкалировании. Ряд иных примеров можно найти в списке оптимизационных постановок основных проблем прикладного многомерного статистического анализа, приведенном в монографии [12].
	Перейдем к объектам нечисловой природы на "выходе" статистической процедуры. Примеры многочисленны. Разбиения - итог работы многих алгоритмов классификации, в частности, алгоритмов кластер-анализа. Ранжировки - результат упорядочения профессий по привлекательности или автоматизированной обработки мнений экспертов - членов комиссии по подведению итогов конкурса научных работ. (В последнем случае используются ранжировки со связями; так, в одну группу, наиболее многочисленную, попадают работы, не получившие наград.) Из всех объектов нечисловой природы, видимо, наиболее часты на "выходе" дихотомические данные - принять или не принять гипотезу, в частности, принять или забраковать партию продукции. Результатом статистической обработка данных может быть множество, например зона наибольшего поражения при аварии, или последовательность множеств, например, "среднемерное" описание распространения пожара (см. главу 4 в монографии [3]). Нечетким множеством Э. Борель [13] еще в начале ХХ в. предлагал описывать представление людей о числе зерен, образующем "кучу". С помощью нечетких множеств формализуются значения лингвистических переменных, выступающих как итоговая оценка качества систем автоматизированного проектирования, сельскохозяйственных машин, бытовых газовых плит, надежности программного обеспечения или систем управления. Можно констатировать, что все виды объектов нечисловой природы могут появляться " на выходе" статистического исследования.

8.2. Âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè êîíêðåòíûõ âèäîâ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû
 
	Â íàñòîÿùåì ïóíêòå ðàññìîòðåíû îñíîâíûå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû: äèõîòîìè÷åñêèõ äàííûõ, ðåçóëüòàòîâ ïàðíûõ ñðàâíåíèé, áèíàðíûõ îòíîøåíèé, ðàíãîâ, îáúåêòîâ îáùåé ïðèðîäû. Îáñóæäàþòñÿ ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé, ïðèâåäåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ îá èõ ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè (ñì. òàêæå îáçîð [14]).
Äèõîòîìè÷åñêèå äàííûå. Ðàññìîòðèì áàçîâóþ âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü äèõîòîìè÷åñêèõ äàííûõ - áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð (â òåðìèíîëîãèè ýíöèêëîïåäèè [15] - ëþñèàí), ò.å. êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè , äëÿ êîòîðûõ  è  ïðè÷åì âåðîÿòíîñòè pi ìîãóò áûòü ðàçëè÷íû.
	Áåðíóëëèåâñêèå âåêòîðà ÷àñòî ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Òàê, îíè èñïîëüçîâàíû â ìîíîãðàôèè [3] äëÿ îïèñàíèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé. Êàê èçâåñòíî, òîëåðàíòíîñòü íà ìíîæåñòâå èç m ýëåìåíòîâ ìîæíî çàäàòü ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé |||| èç 0 è 1, íà ãëàâíîé äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò 1. Òîãäà ñëó÷àéíàÿ òîëåðàíòíîñòü îïèñûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì m(m-1)/2 äèõîòîìè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí   à äëÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé (íà ìíîæåñòâå âñåõ òîëåðàíòíîñòåé) òîëåðàíòíîñòè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êàê ìîæíî äîêàçàòü, îêàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè 1/2. Çàïèñàâ ýëåìåíòû çàäàþùåé òàêóþ òîëåðàíòíîñòü ìàòðèöû â ñòðîêó, ïîëó÷èì áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð ñ k=m(m-1)/2 è pi = 1/2, 
	Â ñâÿçè ñ îöåíèâàíèåì ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîé òîëåðàíòíîñòè â 1970-å ãîäû áûëà ïîñòðîåíà òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé ñ òàêèìè íåçàâèñèìûìè  ÷òî âåðîÿòíîñòè  ïðîèçâîëüíû (ñì. îá ýòîì ìîíîãðàôèþ [3]).
	Ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè èñïîëüçîâàëèñü êàê îáùèé ÿçûê äëÿ îïèñàíèÿ ïàðíûõ ñðàâíåíèé è ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé. Â ñòàòüÿõ [16] è [17] òåðìèí "ëþñèàí" ïðèìåíÿëñÿ êàê ñîêðàùåíèå äëÿ âûðàæåíèÿ "ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè". Â ðàáîòå [18], ÿâëÿþùåéñÿ ïðîäîëæåíèåì [17] è ñîäåðæàùåé îïèñàíèå ðàñ÷åòíûõ ìåòîäîâ, âûòåêàþùèõ èç ðåçóëüòàòîâ [17], ýòîò òåðìèí íå óïîòðåáëÿëñÿ âîîáùå, õîòÿ óêàçàííûé îáúåêò (ò.å. áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð) áûë îñíîâíûì ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî èçëîæåíèå â ðàáîòå [18] øëî íà ÿçûêå îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ïàðíûõ ñðàâíåíèé, êîòîðûå äëÿ ïðèêëàäíèêà íèêàê íå ñâÿçàíû ñ ìíîæåñòâàìè.
	Â äàëüíåéøåì áûë âûÿâëåí åù¸ ðÿä îáëàñòåé, â êîòîðûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì ðàçðàáîòàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ýêîíîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ áåðíóëëèåâñêèìè âåêòîðàìè. Ïåðå÷èñëèì ýòè îáëàñòè, âêëþ÷àÿ ðàíåå íàçâàííûå: àíàëèç ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé; ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè; îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ íåçàâèñèìûõ ïàðíûõ ñðàâíåíèé; ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû àíàëèçà òî÷íîñòè è ñòàáèëüíîñòè òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà, à òàêæå àíàëèç è ñèíòåç ïëàíîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðèåìî÷íîãî êîíòðîëÿ (ïî àëüòåðíàòèâíûì, ò.å. äèõîòîìè÷åñêèì, ïðèçíàêàì); îáðàáîòêà ìàðêåòèíãîâûõ è ñîöèîëîãè÷åñêèõ àíêåò (ñ çàêðûòûìè âîïðîñàìè òèïà "äà"-"íåò"); îáðàáîòêà ñîöèàëüíî-ïñèõîëîãè÷åñêèõ è ìåäèöèíñêèõ äàííûõ, â ÷àñòíîñòè, îòâåòîâ íà ïñèõîëîãè÷åñêèå òåñòû òèïà MMPI (èñïîëüçóåìûõ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ïåðñîíàëîì), òîïîãðàôè÷åñêèõ êàðò (ïðèìåíÿåìûõ äëÿ àíàëèçà è ïðîãíîçà çîí ïîðàæåíèÿ ïðè òåõíîëîãè÷åñêèõ àâàðèÿõ, ðàñïðîñòðàíåíèè êîððîçèè, ðàñïðîñòðàíåíèè ýêîëîãè÷åñêè âðåäíûõ çàãðÿçíåíèé â äðóãèõ ñèòóàöèÿõ) è ò.ä.
	Òåîðèþ áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ ëþáîé èç ýòèõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ îáëàñòåé. Îäíàêî òåðìèíîëîãèÿ îäíîé èç ýòèõ îáëàñòåé "ðåæåò ñëóõ" è ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì â äðóãîé èç íèõ. Ïîýòîìó ìû ñ÷èòàåì öåëåñîîáðàçíûì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû "áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð" â óêàçàííîì âûøå çíà÷åíèè, íå ñâÿçàííîì íè ñ êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ îáëàñòåé ïðèëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè (â ðÿäå ïóáëèêàöèé â òîì æå çíà÷åíèè èñïîëüçîâàëñÿ òåðìèí "ëþñèàí").
	Ðàñïðåäåëåíèå áåðíóëëèåâñêîãî âåêòîðà Õ ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì ,ò.å. íå÷åòêèì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà {1,2,...,k}. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî äåòåðìèíèðîâàííîãî âåêòîðà  èç 0 è 1 èìååì

ãäå h(x,p)=p ïðè õ=1 è h(õ,ð)=1-ð ïðè õ=0.
	Òåïåðü ìîæíî óòî÷íèòü ñïîñîáû èñïîëüçîâàíèÿ ëþñèàíîâ ïðè ýêîíîìåòðè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè. Áåðíóëëèåâñêèìè âåêòîðàìè ìîæíî ìîäåëèðîâàòü: ðåçóëüòàòû ñòàòèñòè÷åñêîãî êîíòðîëÿ (0-ãîäíîå èçäåëèå, 1-äåôåêòíîå); ðåçóëüòàòû ìàðêåòèíãîâûõ è ñîöèîëîãè÷åñêèõ îïðîñîâ (0-îïðàøèâàåìûé âûáðàë ïåðâóþ èç äâóõ ïîäñêàçîê, 1-âòîðóþ); ðàñïðåäåëåíèå ïîñòîðîííèõ âêëþ÷åíèé â ìàòåðèàëå (0 - íåò âêëþ÷åíèÿ â îïðåäåëåííîì îáúåìå ìàòåðèàëà, 1 - åñòü); ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé è àíàëèçîâ (0 - íåò íàðóøåíèé òðåáîâàíèé íîðìàòèâíî-òåõíè÷åñêîé äîêóìåíòàöèè, 1 - åñòü òàêèå íàðóøåíèÿ); ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ, íàïðèìåð, ïîæàðîâ (0 - íåò çàãîðàíèÿ, 1 - åñòü; ïîäðîáíåå ñì. [3, ñ.215-223]); òåõíîëîãè÷åñêèå ïðîöåññû (0 - ïðîöåññ íàõîäèòñÿ â ãðàíèöàõ äîïóñêà,1 - âûøåë èç íèõ); îòâåòû ýêñïåðòîâ (îïðàøèâàåìûõ) î ñõîäñòâå îáúåêòîâ (ïðîåêòîâ, îáðàçöîâ) è ò.ä.
	Ïàðíûå ñðàâíåíèÿ. Îáùóþ ìîäåëü ïàðíûõ ñðàâíåíèé îïèøåì ñîãëàñíî ìîíîãðàôèè Ã. Äýâèäà [9, ñ.9]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî t îáúåêòîâ  ñðàâíèâàþòñÿ ïîïàðíî êàæäûì èç n ýêñïåðòîâ. Âñåãî âîçìîæíûõ ïàð äëÿ ñðàâíåíèÿ èìååòñÿ  Ýêñïåðò ñ íîìåðîì  äåëàåò  ïîâòîðíûõ ñðàâíåíèé äëÿ êàæäîé èç s âîçìîæíîñòåé. Ïóñòü  i,j=1,2,...,t,  =1,2,...,n; =1,2,..., -ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïðåäïî÷èòàåò ëè ýêñïåðò  îáúåêò Ai èëè îáúåêò Aj â -ì ñðàâíåíèè äâóõ îáúåêòîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ñðàâíåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, òàê ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû  íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî  Ïîëîæèì

	ßñíî, ÷òî îïèñàííàÿ ýêîíîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü ïàðíûõ ñðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé áåðíóëëèåâñêîãî âåêòîðà. Â ýòîé ìîäåëè ÷èñëî íàáëþäåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ âûâîäîâ íåîáõîäèìî ïîëîæèòü àïðèîðíûå óñëîâèÿ íà , íàïðèìåð [9, c.9]: 
 (íåò ýôôåêòà îò ïîâòîðåíèé); 
 (íåò ýôôåêòà îò ïîâòîðåíèé è îò ýêñïåðòîâ). 
Òåîðèþ íåçàâèñèìûõ ïàðíûõ ñðàâíåíèé öåëåñîîáðàçíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè - íåïàðàìåòðè÷åñêóþ, â êîòîðîé ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è ñòàâÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî â òåðìèíàõ , è ïàðàìåòðè÷åñêóþ, â êîòîðîé âåðîÿòíîñòè  âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìåíüøåå ÷èñëî èíûõ ïàðàìåòðîâ. Ðÿä ðåçóëüòàòîâ íåïàðàìåòðè÷åñêîé òåîðèè ïàðíûõ ñðàâíåíèé íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òåîðèè áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ. 
 	Â ïàðàìåòðè÷åñêîé òåîðèè ïàðíûõ ñðàâíåíèé íàèáîëåå ïîïóëÿðíà òàê íàçûâàåìàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü [9, c.11], â êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ , ÷òî êàæäîìó îáúåêòó Ai ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ "öåííîñòü" Vi òàê, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðåäïî÷òåíèÿ   (ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ýôôåêò îò ïîâòîðåíèé è îò ýêñïåðòîâ îòñóòñòâóåò ) âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 
		(1)
ãäå H(x) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî 0, ò.å.
		(2)
ïðè âñåõ x.
 	Øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ ìîäåëè Òåðñòîóíà - Ìîñòåëëåðà è Áðýäëè - Òåððè , â êîòîðûõ H(õ) - ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè íîðìàëüíîãî è ëîãèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèé. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ô(õ) ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì 0 è äèñïåðñèåé 1 è ôóíêöèÿ 

ñòàíäàðòíîãî ëîãèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò (ñì., íàïðèìåð, [19]) ñîîòíîøåíèþ

òî äëÿ îáîñíîâàííîãî âûáîðà ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ìåæäó ìîäåëÿìè Òåðñòîóíà-Ìîñòåëëåðà è Áðýäëè-Òåððè íåîáõîäèìî íå ìåíåå òûñÿ÷è íàáëþäåíèé (ñð. ï.4.2 âûøå).
Ñîîòíîøåíèå (1) âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ìîäåëè ïîâåäåíèÿ ýêñïåðòà: îí èçìåðÿò "öåííîñòü" Vi è Vj îáúåêòîâ Ai è Aj, íî ñ îøèáêàìè  è  ñîîòâåòñòâåííî, à çàòåì ñðàâíèâàåò ñâîè îöåíêè öåííîñòè îáúåêòîâ  è  Åñëè  òî îí ïðåäïî÷èòàåò Ai, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - Aj. Òîãäà
		(3)
	Îáû÷íî ïðåäïîëàãàþò, ÷òî ñóáúåêòèâíûå îøèáêè ýêñïåðòà  è  íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Í(õ) èç ñîîòíîøåíèÿ (3) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (2).
	Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçíîâèäíîñòåé ìîäåëåé ïàðíûõ ñðàâíåíèé, ïîñòîÿííî ïðåäïîëàãàþòñÿ íîâûå. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà îïèøåì ìîäåëü ïàðíûõ ñðàâíåíèé, îñíîâàííóþ íå íà ïðîöåäóðå óïîðÿäî÷åíèÿ, à íà îïðåäåëåíèè ñõîäñòâà îáúåêòîâ. Ïóñòü êàæäîìó îáúåêòó Ai ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà ai â r-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rr. Ýêñïåðò "èçìåðÿåò" ai è aj ñ îøèáêàìè  è  ñîîòâåòñòâåííî è â ñëó÷àå, åñëè åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó  è  ìåíüøå 1, çàÿâëÿåò î ñõîäñòâå îáúåêòîâ Ai è Aj, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - îá èõ ðàçëè÷èè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îøèáêè  è  íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå, íàïðèìåð, êðóãîâîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé êîîðäèíàò . Öåëüþ ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ïî ðåçóëüòàòàì ïàðíûõ ñðàâíåíèé îöåíîê ïàðàìåòðîâ a1,  a2,…,ar, è ,  à òàêæå ïðîâåðêà ñîãëàñèÿ îïûòíûõ äàííûõ ñ ìîäåëüþ.
Ðàññìîòðåííûå ìîäåëè ïàðíûõ ñðàâíåíèé ìîãóò áûòü îáîáùåíû â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ. Òàê, ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå "íè÷üÿ "- ñèòóàöèè, êîãäà ýêñïåðò îöåíèâàåò îáúåêòû îäèíàêîâî. Ìîäåëè ñ ó÷åòîì "íè÷üèõ" ïðåäïîëàãàþò, ÷òî ýêñïåðò ìîæåò îòêàçàòüñÿ îò âûáîðà îäíîãî èç îáúåêòîâ è çàÿâèòü îá èõ ýêâèâàëåíòíîñòè, ò. å. ÷èñëî âîçìîæíûõ îòâåòîâ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ 2 äî 3. Â ìîäåëÿõ ìíîæåñòâåííûõ ñðàâíåíèé ýêñïåðòó ïðåäñòàâëÿåòñÿ íå äâà îáúåêòà , à òðè èëè áîëüøåå ÷èñëî 
	Ìîäåëè, ó÷èòûâàþùèå "íè÷üè", ñòðîÿòñÿ îáû÷íî ñ ïîìîùüþ èñïîëüçóåìûõ â ïñèõîôèçèêå  "ïîðîãîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè": åñëè  (ãäå r- ïîðîã ÷óâñòâèòåëüíîñòè), òî îáúåêòû Ai è Aj ýêñïåðò îáúÿâëÿåò íåðàçëè÷èìûìè. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìîäåëè ñ "íè÷üèìè", îñíîâàííîé íà äðóãîì ïðèíöèïå. Ïóñòü êàæäîìó îáúåêòó Ai ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà ai â r-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàê è ïðåæäå , ýêñïåðò "èçìåðÿåò " îáúåêòíûå òî÷êè " ai è aj ñ îøèáêàìè  è  ñîîòâåòñòâåííî, ò.å. ïðèíèìàåò ðåøåíèå íà îñíîâå yi =  è yj = . Åñëè âñå êîîðäèíàòû yi áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò yj , òî Ai ïðåäïî÷èòàåòñÿ Aj. Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè êàæäàÿ êîîðäèíàòà yi ìåíüøå  êîîðäèíàòû yj  ñ òåì æå íîìåðîì , òî ýêñïåðò ñ÷èòàåò íàèëó÷øèì îáúåêò Aj. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ýêñïåðò îáúÿâëÿåò î íè÷åéíîé ñèòóàöèè. Ýòà ìîäåëü ïðè r=1 ïåðåõîäèò â îïèñàííóþ âûøå ëèíåéíóþ ìîäåëü. Îíà ñâÿçàíà ñ ïðèíöèïîì Ïàðåòî â òåîðèè ãðóïïîâîãî âûáîðà è ïðåäóñìàòðèâàåò âûáîð îïòèìàëüíîãî ïî Ïàðåòî îáúåêòà, åñëè îí ñóùåñòâóåò (ðîëü ñîãëàñóåìûõ êðèòåðèåâ èãðàþò ïðîöåäóðû ñðàâíåíèÿ çíà÷åíèé îòäåëüíûõ êîîðäèíàò), è îòêàç îò âûáîðà, åñëè òàêîãî îáúåêòà íåò. 
Ìîæíî ñòðîèòü ìîäåëè, ó÷èòûâàþùèå ïîðÿäîê ïðåäúÿâëåíèÿ îáúåêòîâ ïðè ñðàâíåíèè, çàâèñèìîñòü ðåçóëüòàòà ñðàâíåíèÿ îò ðåçóëüòàòîâ ïðåäøåñòâóþùèõ ñðàâíåíèé. Îïèøåì îäíó èç ïîäîáíûõ ìîäåëåé.
Ïóñòü ýêñïåðò ñðàâíèâàåò òðè îáúåêòà - A, B, C, ïðè÷åì ñíà÷àëà ñðàâíèâàþòñÿ A è B, ïîòîì - B è C è, íàêîíåö, A è C. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïóñòü A>B áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî A áîëåå ïðåäïî÷òèòåëåí, ÷åì B. Ïóñòü ïðè ïðåäúÿâëåíèè äâóõ îáúåêòîâ 

Òåïåðü ïóñòü ïàðà B, C ïðåäúÿâëÿåòñÿ ïîñëå ïàðû A, B. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûñîêàÿ îöåíêà B â ïåðâîì ñðàâíåíèè ïîâûøàåò âåðîÿòíîñòü ïðåäïî÷òåíèÿ B è âî âòîðîì, è, íàîáîðîò, îòðèöàòåëüíîå ìíåíèå î B â ïåðâîì ñðàâíåíèè ñîõðàíÿåòñÿ è ïðè ïðîâåäåíèè âòîðîãî ñðàâíåíèÿ. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïðîùå âñåãî ó÷åñòü â ìîäåëè ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ãäå  - íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïîêàçûâàþùåå ñòåïåíü âëèÿíèÿ ïåðâîãî ñðàâíåíèÿ íà âòîðîå. Ïî àíàëîãè÷íûì ïðè÷èíàì âåðîÿòíîñòè èñõîäà òðåòüåãî ñðàâíåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðåçóëüòàòîâ ïåðâûõ äâóõ ìîæíî îïèñàòü òàê:

Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ    è  ïî ðåçóëüòàòàì ñðàâíåíèé, ïðîâåäåííûõ n ýêñïåðòàìè, è â ïðîâåðêå àäåêâàòíîñòè ìîäåëè.
	ßñíî, ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå ìîäåëè, â ÷àñòíîñòè, ó÷èòûâàþùèå òÿãó ýêñïåðòîâ ê òðàíçèòèâíîñòè îòâåòîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîáëåìû ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ïàðíûõ ñðàâíåíèé îòíîñÿòñÿ íå ê ýêîíîìåòðè÷åñêîé òåîðèè, à ê òåì ïðèêëàäíûì îáëàñòÿì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êîòîðûõ ðàçâèâàþòñÿ ìåòîäû ïàðíûõ ñðàâíåíèé, íàïðèìåð, ê ýêîíîìèêå ïðåäïðèÿòèÿ, ñòðàòåãè÷åñêîìó ìåíåäæìåíòó, ïðîèçâîäñòâåííîé ïñèõîëîãèè, èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëåé, ýêñïåðòíûì îöåíêàì è ò. ä. 
Ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé áûë ââåäåí â 1860 ã. Ã. Ò. Ôåõíåðîì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïñèõîôèçèêè. Ðàññêàæåì îá ýòîì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå. Êàê èçâåñòíî, îñíîâàòåëåì ïñèõîôèçèêè ïî ïðàâó ñ÷èòàåòñÿ Ãóñòàâ Òåîäîð Ôåõíåð (1801 - 1887), à ãîä âûõîäà â ñâåò åãî ôóíäàìåíòàëüíîé ðàáîòû "Ýëåìåíòû ïñèõîôèçèêè"(1860) - äàòîé ðîæäåíèÿ íîâîé íàóêè; â ýòîé ðàáîòå øèðîêî ïðèìåíÿëñÿ ïðåäëîæåííûé Ã.Ò. Ôåõíåðîì ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé (îáñóæäåíèå  ñîáûòèé òåõ ëåò ñ ñîâðåìåííûõ ïîçèöèé äàíî â ìîíîãðàôèè [9, c.14-16]).
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïðèâåäåííûå âûøå ìîäåëè íå ïðåäñòàâëÿþò áîëüøîãî òåîðåòè÷åñêîãî èíòåðåñà: îöåíêè ïàðàìåòðîâ íàõîäÿòñÿ îáû÷íî ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, à ïðîâåðêà ñîãëàñèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî êðèòåðèþ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èëè àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè åìó êðèòåðèÿìè òèïà õè-êâàäðàò [9]. Âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû îáû÷íî ñëîæíû è ïëîõî èññëåäîâàíû; èõ ìîæíî óïðîñòèòü è îäíîâðåìåííî ïîâûñèòü îáîñíîâàííîñòü, ïåðåéäÿ îò îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ê îäíîøàãîâûì îöåíêàì [20].
	Îòìåòèì íåêîòîðûå ñëîæíîñòè ïðè îáîñíîâàíèè âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèè ëèíåéíûõ ìîäåëåé òèïà (1) - (3). Ýêîíîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòà, êîãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ , ÷òî êàæäîìó îòäåëüíîìó ñðàâíåíèþ äâóõ îáúåêòîâ ñîîòâåòñòâóþò ñâîè ñîáñòâåííûå îøèáêè ýêñïåðòîâ, ïðè÷åì âñå îøèáêè íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè. Îäíàêî ýòî ïðåäïîëîæåíèå îòíþäü íå î÷åâèäíî ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òðè îáúåêòà A, B è C, êîòîðûå ñðàâíèâàþò ïîïàðíî: A è B, B è C, A è C. Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì, â ðàññìîòðåíèå ââîäÿò 6 îøèáîê îäíîãî è òîãî æå ýêñïåðòà:  è  â ïåðâîì ñðàâíåíèè,  è -âî âòîðîì,  è - â òðåòüåì, ïðè÷åì âñå ýòè 6 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè. Ìåæäó òåì åñòåñòâåííî äóìàòü, ÷òî ìíåíèÿ ýêñïåðòà îá îäíîì è òîì æå îáúåêòå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, ò. å.  è  çàâèñèìû, ðàâíî êàê  è , à òàêæå  è . Áîëåå òîãî, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî òî÷êà çðåíèÿ ýêñïåðòà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà äëÿ íåãî ñàìîãî, òî ñëåäóåò ïîëîæèòü = è ñîîòâåòñòâåííî = è =. Ïðè ýòîì, íàïîìíèì, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,  è äð. èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê îòêëîíåíèÿ ìíåíèé îòäåëüíûõ ýêñïåðòîâ îò èñòèíû. Âèäèìî, îøèáêó ýêñïåðòà öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñëàãàåìûõ, à èìåííî: îòêëîíåíèÿ îò èñòèíû, âûçâàííîãî âíóòðåííèìè îñîáåííîñòÿìè ýêñïåðòà (ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü) è êîëåáàíèÿ ìíåíèÿ ýêñïåðòà â ñâÿçè ñ î÷åðåäíûì ïàðíûì ñðàâíåíèåì (ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü). Èãíîðèðîâàíèå ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè îáëåã÷àåò ðàçâèòèå ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè, à åå ó÷åò ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èçó÷åíèÿ çàâèñèìûõ ïàðíûõ ñðàâíåíèé. 
Ïðè îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ ïàðíûõ ñðàâíåíèé ïåðâûé ýòàï - ïðîâåðêà ñîãëàñîâàííîñòè. Ïîíÿòèå ñîãëàñîâàííîñòè óòî÷íÿåòñÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè, íî âñå îíè èìåþò îäèí è òîò æå ñìûñë ïðîâåðêè îäíîðîäíîñòè îáðàáàòûâàåìîãî ìàòåðèàëà, ò.å. òîãî, ÷òî öåëåñîîáðàçíî àãðåãèðîâàòü ìíåíèÿ îòäåëüíûõ ýêñïåðòîâ, îáúåäèíèòü äàííûå è ñîâìåñòíî èõ îáðàáàòûâàòü. Ïðè îòñóòñòâèè îäíîðîäíîñòè äàííûå ðàçáèâàþòñÿ íà ãðóïïû (êëàññû, êëàñòåðû, òàêñîíû) ñ öåëüþ îáåñïå÷åíèÿ îäíîðîäíîñòè âíóòðè îòäåëüíûõ ãðóïï. Åñòåñòâåííî, ñîãëàñîâàííîñòü öåëåñîîáðàçíî ïðîâåðÿòü, ââîäÿ âîçìîæíî ìåíüøå ãèïîòåç î ñòðóêòóðå äàííûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, öåëåñîîáðàçíî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ýòîãî íåïàðàìåòðè÷åñêîé òåîðèåé ïàðíûõ ñðàâíåíèé, îñíîâàííîé íà òåîðèè áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ. 
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìîäåëè ïàðíûõ ñðàâíåíèé ìîæíî ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòü â ýêñïåðòíûõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïðîöåäóðàõ óïîðÿäî÷èâàíèÿ è âûáîðà, â ÷àñòíîñòè, äëÿ àíàëèçà ãîëîñîâàíèé, òóðíèðîâ, âûáîðà íàèëó÷øåãî îáúåêòà (ïðîåêòà, îáðàçöà, êàíäèäàòóðû); â ïëàíèðîâàíèè è àíàëèçå ñðàâíèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ è èñïûòàíèé; â îðãàíîëåïòè÷åñêîé ýêñïåðòèçå (â ÷àñòíîñòè, äåãóñòàöèè); ïðè èçó÷åíèè ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëåé; âèçóàëüíîé êîëîðèòìèè, îïðåäåëåíèè èíäèâèäóàëüíûõ ðåéòèíãîâ è âîîáùå èçó÷åíèè ïðåäïî÷òåíèé ïðè âûáîðå è ò. ä. (ïîäðîáíåå ñì. [3,9]).
Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ. Òåîðèþ ðàíãîâîé êîððåëÿöèè [6, 21] ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåîðèþ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ñëó÷àéíûõ ðàíæèðîâîê, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå âñåõ ðàíæèðîâîê. Òàê, ïðè îáðàáîòêå äàííûõ êëàññè÷åñêîãî ïñèõîôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ïî óïîðÿäî÷åíèþ êóáèêîâ ñîîòâåòñòâåííî èõ âåñó, ïîäðîáíî îïèñàííîãî â ðàáîòå [22], îêàçàëàñü àäåêâàòíîé ñëåäóþùàÿ ò.í. Ò-ìîäåëü ðàíæèðîâàíèÿ.
	Ïóñòü èìååòñÿ t îáúåêòîâ  ïðè÷åì êàæäîìó îáúåêòó  ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî ai, îïèñûâàþùåå åãî ïîëîæåíèå íà øêàëå èçó÷àåìîãî ïðèçíàêà. Èñïûòóåìûé óïîðÿäî÷èâàåò îáúåêòû òàê, êàê åñëè áû îöåíèâàë ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ñ îøèáêàìè, ò.å. íàõîäèë i=1,2,…n,  ãäå - îøèáêà ïðè ðàññìîòðåíèè i-ãî îáúåêòà, à çàòåì ðàñïîëàãàë áû îáúåêòû â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì ðàñïîëàãàþòñÿ  Â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ óïîðÿäî÷åíèÿ  åñòü  à ðàíãè  îáúåêòîâ ÿâëÿþòñÿ ðàíãàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí , ïîëó÷åííûõ ïðè èõ óïîðÿäî÷åíèè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Êðîìå òîãî, äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ â ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îøèáêè èñïûòóåìîãî  íåçàâèñèìû è èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì 0 è äèñïåðñèåé . Êàê óæå îòìå÷àëîñü, áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå èç t ýëåìåíòîâ ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ ìàòðèöåé èç 0 è 1 ïîðÿäêà . Ïîýòîìó çàäàòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ - ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî çàäàòü ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà ìíîæåñòâå âñåõ ìàòðèö îïèñàííîãî âèäà, ñîñòîÿùåì èç  ýëåìåíòîâ. Ïðîñòðàíñòâà ðàíæèðîâîê, ðàçáèåíèé, òîëåðàíòíîñòåé çà÷àñòóþ óäîáíî ñ÷èòàòü ïîäïðîñòðàíñòâàìè ïðîñòðàíñòâà âñåõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé, òîãäà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íà íèõ - ÷àñòíûå ñëó÷àè îïèñàííîãî âûøå ðàñïðåäåëåíèÿ, âûäåëåííûå òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ïðèíàäëåæíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèì ïîäïðîñòðàíñòâàì ðàâíû 1. Ðàñïðåäåëåíèå ïðîèçâîëüíîãî áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ îïèñûâàåòñÿ -1 ïàðàìåòðàìè, ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé ðàíæèðîâêè (áåç ñâÿçåé) - (t!-1) ïàðàìåòðàìè, à îïèñàííàÿ âûøå T-ìîäåëü ðàíæèðîâàíèÿ - (t+1) ïàðàìåòðîì. Ïðè t=4 ýòè ÷èñëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 65535, 23 è 5. Ïåðâîå èç ýòèõ ÷èñåë ïîêàçûâàåò ïðàêòè÷åñêóþ íåâîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ â ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ïðîèçâîëüíûõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé, ïîñêîëüêó ïî èìåþùèìñÿ äàííûì íåâîçìîæíî îöåíèòü ñòîëü áîëüøîå ÷èñëî ïàðàìåòðîâ. Ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ òåìè èëè èíûìè ñåìåéñòâàìè áèíàðíûõ îòíîøåíèé - ðàíæèðîâêàìè, ðàçáèåíèÿìè, òîëåðàíòíîñòÿìè è äð. Ìîäåëü ïðîèçâîëüíîé ñëó÷àéíîé ðàíæèðîâêè ïðè t=5 îïèñûâàåòñÿ 119 ïàðàìåòðàìè, ïðè t=6 - óæå 719 ïàðàìåòðàìè, ïðè t=7 ÷èñëî ïàðàìåòðîì äîñòèãàåò 5049, ÷òî óæå ÿâíî çà âîçìîæíîñòÿìè îöåíèâàíèÿ. Â òî æå âðåìÿ T-ìîäåëü ðàíæèðîâàíèÿ ïðè t=7 îïèñûâàåòñÿ âñåãî 8-þ ïàðàìåòðàìè, à ïîòîìó îíà ïðàêòè÷åñêè ïðèãîäíà.
	×òî åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ñî çíà÷åíèÿìè â òîì èëè èíîì ïðîñòðàíñòâå áèíàðíûõ îòíîøåíèé? Çà÷àñòóþ öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èìååò íåêèé öåíòð, ïîïàäàíèå â êîòîðûé íàèáîëåå âåðîÿòíî, à ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò öåíòðà âåðîÿòíîñòè óáûâàþò. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò åñòåñòâåííîé ìîäåëè èçìåðåíèÿ ñ îøèáêîé; â êëàññè÷åñêîì îäíîìåðíîì ñëó÷àå ðåçóëüòàò ïîäîáíîãî èçìåðåíèÿ îïèñûâàåòñÿ óíèìîäàëüíîé ñèììåòðè÷íîé ïëîòíîñòüþ, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ñëåâà îò ìîäàëüíîãî çíà÷åíèÿ, â êîòîðîì ïëîòíîñòü ìàêñèìàëüíà, è ìîíîòîííî óáûâàþùåé ñïðàâà îò íåãî. ×òîáû ââåñòè ïîíÿòèå ìîíîòîííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå áèíàðíûõ îòíîøåíèé, áóäåì èñõîäèòü èç ìåòðèêè â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî áèíàðíûå îòíîøåíèÿ C è D îäíîçíà÷íî îïèñûâàþòñÿ ìàòðèöàìè  è  ïîðÿäêà  ñîîòâåòñòâåííî, ðàññìîòðèì ðàññòîÿíèå (â íåñêîëüêî äðóãîé òåðìèíîëîãèè - ìåòðèêó) â ïðîñòðàíñòâå áèíàðíûõ îòíîøåíèé
		(4)
	Ìåòðèêà (4) â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé - ðàíæèðîâîê, ðàçáèåíèé, òîëåðàíòíîñòåé - ìîæåò áûòü ââåäåíà ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì àêñèîì. Â ðàáîòàõ [3, 23] äàí îáçîð àêñèîìàòè÷åñêèì ïîäõîäàì ê ïîëó÷åíèþ ìåòðèêè (4) â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ìåòðèêó (4) îáû÷íî íàçûâàþò ðàññòîÿíèåì Êåìåíè â ÷åñòü àìåðèêàíñêîãî èññëåäîâàòåëÿ Äæîíà Êåìåíè, âïåðâûå ïîëó÷èâøåãî ýòó ìåòðèêó èñõîäÿ èç ïðåäëîæåííîé èì ñèñòåìû àêñèîì äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óïîðÿäî÷åíèÿìè (ðàíæèðîâêàìè). Ýòîé òåìàòèêå ïîñâÿùåíà ïåðâàÿ ãëàâà ó÷åáíèêà [24], íà àíãëèéñêîì ÿçûêå âûïóùåííîì ïîä íàçâàíèåì "Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ñîöèàëüíûõ íàóêàõ". 
Â ñòàòèñòèêå íå÷èñëîâûõ äàííûõ èñïîëüçóþòñÿ è èíûå ìåòðèêè, îòëè÷àþùèåñÿ îò ðàññòîÿíèÿ Êåìåíè. Áîëåå òîãî, äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïîíÿòèÿ ìîíîòîííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, î êîòîðîì ñåé÷àñ èäåò ðå÷ü, íåò íåîáõîäèìîñòè òðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà, à äîñòàòî÷íî, ÷òîáû d(C,D)  ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ. Ïîä ïîêàçàòåëåì ðàçëè÷èÿ ïîíèìàåì òàêóþ ôóíêöèþ d(C,D) äâóõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé C è D, ÷òî d(C,D)=0 ïðè C=D è óâåëè÷åíèå d(C,D) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âîçðàñòàíèå ðàçëè÷èÿ ìåæäó C è D.
	Îïðåäåëåíèå 1. Ðàñïðåäåëåíèå áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ X íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî ðàññòîÿíèÿ (ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ) d ñ öåíòðîì â C0, åñëè èç d(C,C0)<d(D,C0)  ñëåäóåò, ÷òî P(X=C)>P(X=D) 
Ýòî îïðåäåëåíèå âïåðâûå ââåäåíî â ìîíîãðàôèè [3, c.196]. Îíî ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â ëþáûõ ïðîñòðàíñòâàõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé è, áîëåå òîãî, â ëþáûõ ïðîñòðàíñòâàõ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, ëèøü áû â íèõ áûëà ââåäåíà ôóíêöèÿ d(C,D) - ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ ýëåìåíòîâ Ñ è D ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Ìîíîòîííîå ðàñïðåäåëåíèå óíèìîäàëüíî, ìîäà íàõîäèòñÿ â Ñ0. 
	Îïðåäåëåíèå 2. Ðàñïðåäåëåíèå áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ X íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî ðàññòîÿíèÿ d ñ öåíòðîì â C0, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ  ÷òî
		(5)
	Åñëè ðàñïðåäåëåíèå X ìîíîòîííî è òàêîâî, ÷òî èç d(C,C0) = d(D,C0)  ñëåäóåò P(X=C) = P(X=D), òî îíî ñèììåòðè÷íî. Åñëè ôóíêöèÿ f â ôîðìóëå (5) ìîíîòîííî ñòðîãî óáûâàåò, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå ìîíîòîííî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.
Ïîñêîëüêó òîëåðàíòíîñòü íà ìíîæåñòâå èç t ýëåìåíòîâ çàäàåòñÿ 0,5t(t-1)  ýëåìåíòàìè ìàòðèöû èç 0 è 1 ïîðÿäêà , ëåæàùèìè âûøå ãëàâíîé äèàãîíàëè, òî ðàñïðåäåëåíèå íà ìíîæåñòâå òîëåðàíòíîñòåé çàäàåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå  ïàðàìåòðàìè. Åñòåñòâåííî âûäåëèòü ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé, ñîîòâåòñòâóþùåå íåçàâèñèìûì ýëåìåíòàì ìàòðèöû. Îíî çàäàåòñÿ áåðíóëëèåâñêèì âåêòîðîì (ëþñèàíîì) ñ 0,5t(t-1) ïàðàìåòðàìè ( âûøå áåðíóëëèåâñêèå âåêòîðà ðàññìîòðåíû ïîäðîáíåå). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåõíèêà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ èçó÷åíèÿ òîëåðàíòíîñòåé ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè, ñóùåñòâåííî ïðîùå, ÷åì â ñëó÷àå ðàíæèðîâîê è ðàçáèåíèé. Çäåñü ëåãêî îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòîìó óñëîâèþ ñîîòâåòñòâóåò pij = 1/2, â òî âðåìÿ êàê ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû àíàëèçà ëþñèàíîâ, ðàçâèòûå â ñòàòèñòèêå íå÷èñëîâûõ äàííûõ (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòû [3,17, 18]) íå íàëàãàþò íèêàêèõ ñóùåñòâåííûõ îãðàíè÷åíèé íà pij .
	Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðè îáðàáîòêå ìíåíèé ýêñïåðòîâ ñíà÷àëà ïðîâåðÿþò ñîãëàñîâàííîñòü. Â ÷àñòíîñòè, åñëè ìíåíèÿ ýêñïåðòîâ îïèñûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, òî äëÿ ñîãëàñîâàííîñòè íåîáõîäèìî ñîâïàäåíèå öåíòðîâ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé. Ê ñîæàëåíèþ, ðàññìîòðåííûå âûøå êëàññè÷åñêèå ìåòîäû ïðîâåðêè ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ ðàíæèðîâîê, îñíîâàííûå íà êîýôôèöèåíòàõ ðàíãîâîé êîððåëÿöèè è êîíêîðäàöèè, ïîçâîëÿþò ëèøü îòâåðãíóòü ãèïîòåçó î ðàâíîðàñïðåäåëåííîñòè, íî íå óñòàíîâèòü, ìîæíî ëè ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñïåðòàì ðàñïðåäåëåíèé ñîâïàäàþò èëè æå, íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò äâå ãðóïïû ýêñïåðòîâ, êàæäàÿ ñî ñâîèì öåíòðîì. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé ëèøåíà ýòîãî íåäîñòàòêà. Îòñþäà âûòåêàþò ñëåäóþùèå ïðàêòè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè. 
Ïóñòü öåëü îáðàáîòêè ýêñïåðòíûõ äàííûõ ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè ðàíæèðîâêè, îòðàæàþùåé ãðóïïîâîå ìíåíèå. Îäíàêî ñîãëàñíî ðåêîìåíäóåìîé ïðîöåäóðå ýêñïåðòíîãî îïðîñà ïóñòü ýêñïåðòû íå óïîðÿäî÷èâàþò îáúåêòû, à ïðîâîäÿò ïàðíûå ñðàâíåíèÿ, ñðàâíèâàÿ êàæäûé èç ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ ñî âñåìè îñòàëüíûìè, ïðè÷åì ðîâíî îäèí ðàç. Êîãäà îòâåò ýêñïåðòà - òîëåðàíòíîñòü, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàíæèðîâêà, ïîñêîëüêó â îòâåòàõ ýêñïåðòà ìîæåò íàðóøàòüñÿ òðàíçèòèâíîñòü. 
Âîçìîæíû äâà ïóòè îáðàáîòêè äàííûõ. Ïåðâûé - ïðåâðàòèòü îòâåò ýêñïåðòà â ðàíæèðîâêó (òåì èëè èíûì ñïîñîáîì "ñïðîåêòèðîâàâ" íà ïðîñòðàíñòâî ðàíæèðîâîê), à çàòåì ïðîâåðÿòü ñîãëàñîâàííîñòü ðàíæèðîâîê ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ êðèòåðèåâ. Ïðè ýòîì îò òîëåðàíòíîñòè ïåðåéòè ê ðàíæèðîâêå ìîæíî, íàïðèìåð, òàê. Áóäåì âûáèðàòü áëèæàéøóþ (â ñìûñëå ïðèìåíÿåìîãî ðàññòîÿíèÿ) ìàòðèöó ê ìàòðèöå îòâåòîâ ýêñïåðòà èç âñåõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàíæèðîâêàì áåç ñâÿçåé. 
Âòîðîé ïóòü - ïðîâåðèòü ñîãëàñîâàííîñòü ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé, à  ãðóïïîâîå ìíåíèå èñêàòü ñ ïîìîùüþ ìåäèàíû Êåìåíè (ñì. íèæå) íåïîñðåäñòâåííî ïî èñõîäíûì äàííûì, ò.å. ïî òîëåðàíòíîñòÿì. Ãðóïïîâîå ìíåíèå ïðè ýòîì ìîæåò áûòü íàéäåíî â ïðîñòðàíñòâå ðàíæèðîâîê. Âòîðîé ïóòü ìû ñ÷èòàåì áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ áîëåå àäåêâàòíàÿ ïðîâåðêà ñîãëàñîâàííîñòè è èñêëþ÷àåòñÿ ïðîöåäóðà óêëàäûâàíèÿ ìíåíèÿ ýêñïåðòà â "ïðîêðóñòîâî ëîæå "ðàíæèðîâêè" (ýòà ïðîöåäóðà ìîæåò ïðèâîäèòü êàê ê ïîòåðå èíôîðìàöèè, òàê è ê ïðèíöèïèàëüíî íåâåðíûì âûâîäàì).
Îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ñòàòèñòèêè áèíàðíûõ îòíîøåíèé ìíîãîîáðàçíû: ðàíãîâàÿ êîððåëÿöèÿ - îöåíêà âåëè÷èíû ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè, èçìåðåííûìè â ïîðÿäêîâîé øêàëå; àíàëèç ýêñïåðòíûõ èëè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óïîðÿäî÷åíèé; àíàëèç ðàçáèåíèé òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé íà ãðóïïû ñõîäíûõ ìåæäó ñîáîé; îáðàáîòêà äàííûõ î ñõîäñòâå (âçàèìîçàìåíÿåìîñòè); ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç êëàññèôèêàöèé; ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû òåîðèè ìåíåäæìåíòà è äð.
Ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àéíûå ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Q. Åñëè Q ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, òî ñ÷èòàåì, ÷òî ñëó÷àéíîå ïîäìíîæåñòâî S - ýòî ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â 2Q - ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Q, ñîñòîÿùåì èç 2card(Q) ýëåìåíòîâ. ×òîáû óäîâëåòâîðèòü ìàòåìàòèêîâ, ñ÷èòàåì, ÷òî âñå ïîäìíîæåñòâà Q èçìåðèìû. Òîãäà  ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà Q - ýòî
		(6) 
	Â ôîðìóëå (6) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî  ãäå  - âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (çäåñü  - ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, F--àëãåáðà ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, -âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F), íà êîòîðîì îïðåäåëåí ñëó÷àéíûé ýëåìåíò .×åðåç ðàñïðåäåëåíèå PS(A) âûðàæàþòñÿ âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñ S. Òàê ,÷òîáû íàéòè âåðîÿòíîñòü íàêðûòèÿ ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà q ñëó÷àéíûì ìíîæåñòâîì S, äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü

ãäå ñóììèðîâàíèå èäåò ïî âñåì ïîäìíîæåñòâàì A ìíîæåñòâà Q, ñîäåðæàùèì q. Ïóñòü Q={q1, q2,…,qk}. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëÿåìûå ïî ñëó÷àéíîìó ìíîæåñòâó S ñëåäóþùèì îáðàçîì

	Îïðåäåëåíèå 3. Ñëó÷àéíîå ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ìíîæåñòâîì ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè, åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû  íåçàâèñèìû (â ñîâîêóïíîñòè).
	Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí --áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð ñ  è Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû ïîäïóíêòà "Äèõîòîìè÷åñêèå äàííûå" ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ìíîæåñòâà ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

ò.å. òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ îáðàçóþò k = card(Q) - ìåðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî, âõîäÿùåå â (2card(Q) - 1) - îäíîìåðíîå ñåìåéñòâî âñåõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Q.
	Ïðè èññëåäîâàíèè ñëó÷àéíûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Q áóäåì ðàññìàòðèâàòü èõ êàê ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Q, íàïðèìåð, â ïðîñòðàíñòâå çàìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ 2Q ìíîæåñòâà Q. Ïðåäñòàâëÿþùèìè èíòåðåñ ëèøü äëÿ ìàòåìàòèêîâ ñïîñîáàìè ââåäåíèÿ èçìåðèìîé ñòðóêòóðû â 2Q èíòåðåñîâàòüñÿ íå áóäåì. Îòñóòñòâèå ñïåöèàëüíîãî èíòåðåñà ê ïðîáëåìå èçìåðèìîñòè ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ýêîíîìåòðè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè è îáðàáîòêå íà ÝÂÌ âñå ñëó÷àéíûå ïîäìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êîíå÷íûå (ò.å. ïîäìíîæåñòâà êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà).
Ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà íàõîäÿò ðàçíîîáðàçíûå ïðèìåíåíèÿ â ìíîãîîáðàçíûõ ïðîáëåìàõ ýêîíîìåòðèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè, â òîì ÷èñëå â çàäà÷àõ óïðàâëåíèè çàïàñàìè è ðåñóðñàìè (ñì. îá ýòîì ãëàâó 5 â ìîíîãðàôèè [3]), â çàäà÷àõ ìåíåäæìåíòà è ìàðêåòèíãà, â ýêñïåðòíûõ îöåíêàõ, â ÷àñòíîñòè, ïðè àíàëèçå ìíåíèé ãîëîñóþùèõ èëè îïðàøèâàåìûõ, êàæäûé èç êîòîðûõ îòìå÷àåò íåñêîëüêî ïóíêòîâ èç ñïèñêà è ò.ä. Êðîìå òîãî, ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà ïðèìåíÿþòñÿ â ãðàíóëîìåòðèè, ïðè èçó÷åíèè ïîðèñòûõ ñðåä è îáúåêòîâ ñëîæíîé ïðèðîäû â òàêèõ îáëàñòÿõ, êàê ìåòàëëîãðàôèÿ, ïåòðîãðàôèÿ, áèîëîãèÿ, â ÷àñòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîðôîëîãèÿ, â èçó÷åíèè ñòðóêòóðû âåùåñòâ è ìàòåðèàëîâ, â èññëåäîâàíèè ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðîñà÷èâàíèÿ, ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîæàðîâ, ýêîëîãè÷åñêèõ çàãðÿçíåíèé, ïðè ðàéîíèðîâàíèè, â òîì ÷èñëå â èçó÷åíèè îáëàñòåé ïîðàæåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ïîðàæåíèÿ ìåòàëëà êîððîçèåé è ñåðäå÷íîé ìûøöû ïðè èíôàðêòå ìèîêàðäà, è ò.ä., è ò.ï. Ìîæíî âñïîìíèòü î êîìïüþòåðíîé òîìîãðàôèè, î íàãëÿäíîì ïðåäñòàâëåíèè ñëîæíîé èíôîðìàöèè íà ýêðàíå êîìïüþòåðà, îá èçó÷åíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðåêëàìíîé èíôîðìàöèè, î êàðòàõ Êîõîíåíà (ïîïóëÿðíûé ìåòîä ïðåäñòàâëåíèÿ èíôîðìàöèè ïðè ïðèìåíåíèè íåéðîñåòåé) è ò.ä.
Ðàíãîâûå ìåòîäû. Ðàíåå óñòàíîâëåíî, ÷òî ëþáîé àäåêâàòíûé àëãîðèòì  â ïîðÿäêîâîé  øêàëå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò íåêîòîðîé ìàòðèöû C. Ïóñòü íèêàêèå äâà èç ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé x1, x2,…,xn  íå ñîâïàäàþò, à r1, r2,…,rn - èõ ðàíãè. Òîãäà ýëåìåíòû ìàòðèöû C è ðàíãè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé ñâÿçàíû âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì:

à cij ÷åðåç ðàíãè âûðàæàþòñÿ òàê: cij=1, åñëè ri<rj , è cij=0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
	Cêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îáðàáîòêå äàííûõ, èçìåðåííûõ â ïîðÿäêîâîé øêàëå, ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ òîëüêî ðàíãîâûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû. Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòî èñïîëüçóåìîå â íåïàðàìåòðè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ïðåîáðàçîâàíèå Y=F(x) (çäåñü F(x) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ïðè÷åì  F ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé) ôàêòè÷åñêè îçíà÷àåò ïåðåõîä ê ïîðÿäêîâîé øêàëå, ïîñêîëüêó ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû ïðè ýòîì èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ïîðÿäêîâîé øêàëå.
	Ðàçóìååòñÿ, ðàíãîâûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ íå òîëüêî ïðè îáðàáîòêå äàííûõ, èçìåðåííûõ â ïîðÿäêîâîé øêàëå. Òàê, äëÿ ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè äâóõ êîëè÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ â ñëó÷àå, êîãäà íåò óâåðåííîñòè â íîðìàëüíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, öåëåñîîáðàçíî ïîëüçîâàòüñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Êåíäàëëà èëè Ñïèðìåíà.
	Êàê áûëî ïîäðîáíî îáîñíîâàíî â ãëàâàõ 4 è 5, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ íåïàðàìåòðè÷åñêèõ è ïðåæäå âñåãî ðàíãîâûõ ìåòîäîâ ìîæíî ðåøàòü âñå òå çàäà÷è ýêîíîìåòðèêè è ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè, ÷òî è ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ìåòîäîâ, â ÷àñòíîñòè, îñíîâàííûõ íà ïðåäïîëîæåíèè íîðìàëüíîñòè. Îäíàêî ïàðàìåòðè÷åñêèå ìåòîäû âîøëè â ìàññîâîå ñîçíàíèå èññëåäîâàòåëåé è èíæåíåðîâ è ìåøàþò øèðîêîìó âíåäðåíèþ áîëåå îáîñíîâàííîé è ïðîãðåññèâíîé ðàíãîâîé ñòàòèñòèêè. Òàê, ïðè ïðîâåðêå îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê âìåñòî êðèòåðèÿ Ñòúþäåíòà öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ðàíãîâûå ìåòîäû, íî ïîêà ýòî äåëàåòñÿ ðåäêî.
Îáúåêòû îáùåé ïðèðîäû. Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü îáúåêòà íå÷èñëîâîé ïðèðîäû â îáùåì ñëó÷àå- ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîãî âèäà, à ìîäåëü âûáîðêè òàêèõ îáúåêòîâ - ñîâîêóïíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ. Èìåííî òàêàÿ ìîäåëü áûëà èñïîëüçîâàíà äëÿ îáðàáîòêè íàáëþäåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ - íå÷åòêîå ìíîæåñòâî [10].
	Èç-çà èìåþùåãî ðàçíîáîÿ â òåðìèíîëîãèè ïðèâåäåì ìàòåìàòè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ èç ñïðàâî÷íèêà ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé àêàäåìèêà ÐÀÍ Þ.Â Ïðîõîðîâà è ïðîô. Þ.À. Ðîçàíîâà [25].
	Ïóñòü -íåêîòîðîå èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî; -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ  íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé  (ãäå  - âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà -àëãåáðå F - èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ , íàçûâàåìûõ ñîáûòèÿìè) ñî çíà÷åíèÿìè â  íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (÷àùå ýòîò ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò íàçûâàþò ñëó÷àéíûì ýëåìåíòîì, îñòàâëÿÿ òåðìèí "ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà" çà ÷àñòíûì ñëó÷àåì, êîãäà Õ - ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå . Ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû  íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ  íà -àëãåáðå  ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåííàÿ êàê 
		 (7)
(ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé  ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ) [25, ñ. 132].
	Ïóñòü  - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà ïðîñòðàíñòâå ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé  â ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ . Ñîâìåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé ýòèõ âåëè÷èí íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâàõ  …, êàê 
		(8)
	Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé  êàê ôóíêöèÿ íà ïîëóêîëüöå ìíîæåñòâ âèäà  â ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ  ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû  íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ïðè ëþáûõ B1, B2,…,Bn (ñì. [25, ñ.133])
.		(9)
	Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé  ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí  è  àáñîëþòíî íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû Q íà ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ , ÿâëÿþùåéñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìåð  è , ò.å.:
		(10)
äëÿ ëþáûõ  è , ãäå p(x,y) - ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé [25, ñ.145].
	Â ôîðìóëå (10) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî  è  - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé  ñî çíà÷åíèÿìè â ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ  è . Ñóùåñòâîâàíèå ïëîòíîñòè  p(x,y) âûòåêàåò èç àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè  îòíîñèòåëüíî Q â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ðàäîíà - Íèêîäèìà.
	Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé  ìîæåò áûòü âûáðàíî îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ  ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ñîõðàíÿåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå:  Ïðè ïî÷òè êàæäîì  (îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ  â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ) óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé  ãäå  è  áóäåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî ìåðû :

	Ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé áóäåò èìåòü âèä (ñì. [25, ñ.145-146]):
		(11)
	Ïðè ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé ðåàëüíûõ ÿâëåíèé âàæíû âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Äëÿ íèõ ïåðå÷èñëåííûå âûøå îáùèå ïîíÿòèÿ ñòàíîâÿòñÿ áîëåå ïðîçðà÷íûìè, â ÷àñòíîñòè, ñíèìàþòñÿ âîïðîñû èçìåðèìîñòè (âñå ïîäìíîæåñòâà êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà îáû÷íî ñ÷èòàþòñÿ èçìåðèìûìè). Âìåñòî ïëîòíîñòåé è óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàññìàòðèâàþòñÿ âåðîÿòíîñòè è óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïëîòíîñòè îòíîñèòåëüíî ìåðû, ïðèïèñûâàþùåé êàæäîìó ýëåìåíòó ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé âåñ 1, ò.å. ñ÷èòàþùåé ìåðû 

(ìåðà êàæäîãî ìíîæåñòâà ðàâíà ÷èñëó åãî ýëåìåíòîâ). Â öåëîì ÿñíî, ÷òî îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â îáùåì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àþòñÿ îò òàêîâûõ â ýëåìåíòàðíûõ êóðñàõ, âî âñÿêîì ñëó÷àå ñ èäåéíîé òî÷êè çðåíèÿ.
Çà ïîñëåäíèå äâàäöàòü ëåò â ýêîíîìåòðèêå è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ñôîðìèðîâàëàñü íîâàÿ îáëàñòü - ñòàòèñòèêà íå÷èñëîâûõ äàííûõ, îíà æå - ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè îíà ðàçâèòà íå ìåíåå, ÷åì ðàíåå âûäåëåííûå ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç, ñòàòèñòèêà âðåìåííûõ ðÿäîâ è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Êðàòêàÿ ñâîäêà îñíîâíûõ ïîñòàíîâîê è ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â ïðîñòðàíñòâàõ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû äàíû íèæå â íàñòîÿùåé ãëàâå. Òåîðèÿ, ïîñòðîåííàÿ äëÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, ëåæàùèõ â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé ïðèðîäû, ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì ñòåðæíåì â ñòàòèñòèêå íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Â åå ðàìêàõ óäàëîñü ðàçðàáîòàòü è èçó÷èòü ìåòîäû îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê, ïðîâåðêè ãèïîòåç (â ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèê èíòåãðàëüíîãî òèïà), ïàðàìåòðè÷åñêîé è íåïàðàìåòðè÷åñêîé ðåãðåññèè (âîññòàíîâëåíèÿ çàâèñèìîñòåé), íåïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïëîòíîñòè, äèñêðèìèíàíòíîãî è êëàñòåðíîãî àíàëèçîâ è ò.ä.
Âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû, ðàçâèòûå äëÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé èç ïðîñòðàíñòâ ïðîèçâîëüíîãî âèäà, ïîçâîëÿþò åäèíîîáðàçíî ïðîâîäèòü àíàëèç äàííûõ èç ëþáîãî êîíêðåòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàê, â ìîíîãðàôèè [3] îíè ïðèìåíåíû ê êîíå÷íûì ñëó÷àéíûì ìíîæåñòâàì, â ðàáîòå [10] - ê íå÷åòêèì ìíîæåñòâàì. Ñ èõ ïîìîùüþ óñòàíîâëåíî ïîâåäåíèå îáîáùåííîãî ìíåíèÿ ýêñïåðòíîé êîìèññèè (ìåäèàíû Êåìåíè) ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ýêñïåðòîâ, êîãäà îòâåòû ýêñïåðòîâ ëåæàò â òîì èëè èíîì ïðîñòðàíñòâå áèíàðíûõ îòíîøåíèé (ñì. ñì. ïóíêò 4 íàñòîÿùåé ãëàâû è ãëàâó 12 íèæå). Â ïóíêòå 5 íàñòîÿùåé ãëàâû ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îñíîâàííûå íà íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíêàõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ïðîñòðàíñòâå îáùåé ïðèðîäû, ïðèìåíåíû äëÿ ðàçðàáîòêè àëãîðèòìà äèàãíîñòèêè â ïðîñòðàíñòâå ðàçíîòèïíûõ äàííûõ (÷àñòü êîîðäèíàò âåêòîðà èçìåðåíà ïî êîëè÷åñòâåííûì øêàëàì, ÷àñòü - ïî êà÷åñòâåííûì - ñì. ãëàâó 3).

8.3. Ñòðóêòóðà ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû
 
	Êàê óæå îòìå÷àëîñü, òåðìèí "ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû" âïåðâûå ïîÿâèëñÿ â 1979 ã. â ìîíîãðàôèè [3]. Â òîì æå ãîäó â ñòàòüå [16] áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ïðîãðàììà ðàçâèòèÿ ýòîãî íîâîãî íàïðàâëåíèÿ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, êîòîðàÿ ê 1985 ã. â îñíîâíîì áûëà ðåàëèçîâàíà.
	Ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû êàê ñàìîñòîÿòåëüíîå íàó÷íîå íàïðàâëåíèå áûëà âûäåëåíà â íàøåé ñòðàíå. Ñî âòîðîé ïîëîâèíû 80-õ ãîäîâ ñóùåñòâåííî âîçðîñ èíòåðåñ ê ýòîé òåìàòèêå è ó çàðóáåæíûõ èññëåäîâàòåëåé. Ýòî íàøëî îòðàæåíèå, â ÷àñòíîñòè, íà Ïåðâîì Âñåìèðíîì Êîíãðåññå Îáùåñòâà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èì. Áåðíóëëè, ñîñòîÿâøåìñÿ â ñåíòÿáðå 1986 ã. â Òàøêåíòå. Ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû èñïîëüçóåòñÿ â íîðìàòèâíî-òåõíè÷åñêîé è ìåòîäè÷åñêîé äîêóìåíòàöèè, åå ïðèìåíåíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñóùåñòâåííûé òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèé ýôôåêò (ñì. íàïðèìåð, ñâîäêó [26]).
	Îäíàêî òåìàòèêà ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû îáñóæäàëàñü äî ñèõ ïîð â îñíîâíîì â êðóãó ðàçâèâàþùèõ åå ñïåöèàëèñòîâ, â ðåçóëüòàòå îíà íåäîñòàòî÷íî îòðàæåíà â ìîíîãðàôè÷åñêîé ëèòåðàòóðå. Öåëü íàñòîÿùåãî ïóíêòà - äàòü ââåäåíèå â ñòàòèñòèêó îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû, âûäåëèòü åå ñòðóêòóðó, óêàçàòü îñíîâíûå èäåè è ðåçóëüòàòû. 
	Íàïîìíèì, ÷òî îáúåêòàìè íå÷èñëîâîé ïðèðîäû (ñì. òàêæå ïðåäûäóùèå ïóíêòû íàñòîÿùåé ãëàâû) íàçûâàþò ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ëèíåéíûìè. Ïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ áèíàðíûå îòíîøåíèÿ (ðàíæèðîâêè, ðàçáèåíèÿ, òîëåðàíòíîñòè), ìíîæåñòâà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèìâîëîâ (òåêñòû). Îáúåêòû íå÷èñëîâîé ïðèðîäû íåëüçÿ ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà, íå òåðÿÿ ïðè ýòîì ñîäåðæàòåëüíîãî ñìûñëà. Ýòèì îíè îòëè÷àþòñÿ îò èçäàâíà èñïîëüçóåìûõ â ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêå (â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ âûáîðîê) ÷èñåë, âåêòîðîâ è ôóíêöèé.
	Ïðèêëàäíóþ ñòàòèñòèêó ïî âèäó ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ïðèíÿòî äåëèòü íà ñëåäóþùèå íàïðàâëåíèÿ:
	ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îäíîìåðíàÿ ñòàòèñòèêà); 
	ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç;
	ñòàòèñòèêà âðåìåííûõ ðÿäîâ è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ;
 	ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. 
	Ïðè ñîçäàíèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè èñòîðè÷åñêè ïåðâûìè áûëè ðàññìîòðåíû îáúåêòû íå÷èñëîâîé ïðèðîäû - áåëûå è ÷åðíûå øàðû â óðíå. Íà îñíîâå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé áûëè ââåäåíû áèíîìèàëüíîå, ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå è äðóãèå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷åíû òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà, Ïóàññîíà è äð. Ñîâðåìåííîå ðàçâèòèå ýòîé òåìàòèêè ïðèâåëî, â ÷àñòíîñòè, ê ñîçäàíèþ òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî êîíòðîëÿ êà÷åñòâà ïðîäóêöèè ïî àëüòåðíàòèâíîìó ïðèçíàêó (ãîäåí - íå ãîäåí) â ðàáîòàõ À.Í.Êîëìîãîðîâà, Á.Â. Ãíåäåíêî, Þ.Ê. Áåëÿåâà, ß.Ï. Ëóìåëüñêîãî è ìíîãèõ äðóãèõ (ñì., íàïðèìåð, êëàññè÷åñêèå ìîíîãðàôèè [7,8]).
	Â ñåìèäåñÿòûõ ãîäàõ â ñâÿçè ñ çàïðîñàìè ïðàêòèêè âåñüìà óñèëèëñÿ èíòåðåñ ê ñòàòèñòè÷åñêîìó àíàëèçó íå÷èñëîâûõ äàííûõ. Ìîñêîâñêàÿ ãðóïïà, îðãàíèçîâàííàÿ Þ.Í. Òþðèíûì è äðóãèìè ñïåöèàëèñòàìè âîêðóã ñîçäàííîãî â 1973 ã. íàó÷íîãî ñåìèíàðà "Ýêñïåðòíûå îöåíêè è íå÷èñëîâàÿ ñòàòèñòèêà", ðàçâèâàëà â îñíîâíîì âåðîÿòíîñòíóþ ñòàòèñòèêó íå÷èñëîâûõ äàííûõ. Áûëè óñòàíîâëåíû ðàçíîîáðàçíûå ñâÿçè ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû è èçó÷åíû ñâîéñòâà ýòèõ îáúåêòîâ. Ìîñêîâñêîé ãðóïïîé âûïóùåíû äåñÿòêè ñáîðíèêîâ è îáçîðîâ, ïåðå÷åíü êîòîðûõ ïðèâåäåí â èòîãîâîé ðàáîòå [4]. Õîòÿ â íàçâàíèÿõ ìíîãèõ èç ýòèõ èçäàíèé ñòîÿò ñëîâà "ýêñïåðòíûå îöåíêè", àíàëèç ñîäåðæàíèÿ ñáîðíèêîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîäàâëÿþùàÿ ÷àñòü ñòàòåé ïîñâÿùåíà ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèì âîïðîñàì, à íå ïðîáëåìàì ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðòèç. ×àñòîå óïîòðåáëåíèå óêàçàííûõ ñëîâ îòðàæàåò ëèøü îäèí èç èìïóëüñîâ, ñòèìóëèðóþùèõ ðàçâèòèå ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû è èäóùèõ îò çàïðîñîâ ïðàêòèêè. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò è äîëæíû àêòèâíî èñïîëüçîâàòüñÿ â òåîðèè è ïðàêòèêå ýêñïåðòíûõ îöåíîê.
	Íîâîñèáèðñêàÿ ãðóïïà (Ã.Ñ. Ëáîâ, Á.Ã. Ìèðêèí è äð.), êàê ïðàâèëî, íå èñïîëüçîâàëà âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè, ò.å. âåëà èññëåäîâàíèÿ â ðàìêàõ àíàëèçà äàííûõ. Â ìîñêîâñêîé ãðóïïå â ðàìêàõ àíàëèçà äàííûõ òàêæå âåëèñü ðàáîòû, â ÷àñòíîñòè, Á.Ã.Ëèòâàêîì. Èññëåäîâàíèÿ ïî ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû âûïîëíÿëèñü òàêæå â Ëåíèíãðàäå, Åðåâàíå, Êèåâå, Òàëëèíå, Òàðòó, Êðàñíîÿðñêå, Ìèíñêå, Äíåïðîïåòðîâñêå, Âëàäèâîñòîêå, Êàëèíèíå è äðóãèõ íàó÷íûõ öåíòðàõ.
Âíóòðåííåå äåëåíèå ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî íàïðàâëåíèÿ ýêîíîìåòðèêè è ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè âûäåëèì ñëåäóþùèå îáëàñòè.
	1. Ñòàòèñòèêà êîíêðåòíûõ âèäîâ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. 
	2. Ñòàòèñòèêà â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé (ïðîèçâîëüíîé) ïðèðîäû.
	3. Ïðèìåíåíèå èäåé, ïîäõîäîâ è ðåçóëüòàòîâ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû â êëàññè÷åñêèõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè.
	Åäèíñòâî ðàññìàòðèâàåìîìó íàïðàâëåíèþ ïðèäàåò ïðåæäå âñåãî âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ ïîäõîäèòü ê ñòàòèñòè÷åñêèì çàäà÷àì îïèñàíèÿ äàííûõ, îöåíèâàíèÿ, ïðîâåðêè ãèïîòåç ïðè ðàññìîòðåíèè âûáîðêè, ýëåìåíòû êîòîðîé èìåþò òó èëè èíóþ êîíêðåòíóþ ïðèðîäó. Âíóòðè ïåðâîé ñîñòàâëÿþùåé ðàññìîòðèì:
	1.1) òåîðèþ èçìåðåíèé; 
	1.2) ñòàòèñòèêó áèíàðíûõ îòíîøåíèé; 
	1.3) òåîðèþ ëþñèàíîâ (áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ); 
	1.4) ñòàòèñòèêó ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ; 
	1.5) ñòàòèñòèêó íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ; 
	1.6) ìíîãîìåðíîå øêàëèðîâàíèå; 
	1.7) àêñèîìàòè÷åñêîå ââåäåíèå ìåòðèê. 
	Ïåðå÷èñëåííûå ðàçäåëû òåñíî ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì, êàê ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [3,15] è ïåðâûõ äâóõ ïóíêòàõ íàñòîÿùåé ãëàâû. Âíå äàííîãî ïåðå÷íÿ îñòàëèñü ðàáîòû ïî õîðîøî ðàçâèòûì êëàññè÷åñêèì îáëàñòÿì - ñòàòèñòè÷åñêîìó êîíòðîëþ, òàáëèöàì ñîïðÿæåííîñòè, à òàêæå ïî àíàëèçó òåêñòîâ è íåêîòîðûå äðóãèå (ñì.[4]). Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðèì ïîñòàíîâêè 1970-2000 ãã. âåðîÿòíîñòíîé ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû.
Ñòàòèñòèêà â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé ïðèðîäû. Ïóñòü x1,x2,…,xn -ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà X, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ëèíåéíûì. Êàê îïðåäåëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå äëÿ x1,x2,…,xn? Ïîñêîëüêó íåëüçÿ ñêëàäûâàòü ýëåìåíòû X, ñðàâíèâàòü èõ ïî âåëè÷èíå, òî íåîáõîäèìû ïîäõîäû, ïðèíöèïèàëüíî íîâûå ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè. Â ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ  (ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ: ÷åì áîëüøå d(x,y), òåì áîëüøå ðàçëè÷àþòñÿ x è y) è îïðåäåëÿòü ñðåäíåå êàê ðåøåíèå ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è
		(1)
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíåå En(d)- ýòî ñîâîêóïíîñòü âñåõ òåõ , äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ
		(2)
äîñòèãàåò ìèíèìóìà íà X.
	Äëÿ êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ X = R1 ïðè d(x,y) = (x-y)2 èìååì En(d) =, à ïðè d(x,y)=|x-y| ñðåäíåå En(d) ñîâïàäàåò ñ âûáîðî÷íîé ìåäèàíîé (ïðè íå÷åòíîì îáúåìå âûáîðêè; à ïðè ÷åòíîì - En(d) ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ñ êîíöàìè â äâóõ ñðåäíèõ ýëåìåíòàõ âàðèàöèîííîãî ðÿäà).
	Äëÿ ðÿäà êîíêðåòíûõ îáúåêòîâ ñðåäíåå êàê ðåøåíèå ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è ââîäèëîñü ðÿäîì àâòîðîâ. Â 1929 ã. èòàëüÿíñêèå ñòàòèñòèêè Äæèíè è Ãàëüâàíè ïðèìåíèëè òàêîé ïîäõîä äëÿ óñðåäíåíèÿ òî÷åê íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå Àìåðèêàíñêèé èññëåäîâàòåëü Äæîí Êåìåíè ðåøåíèå çàäà÷è (1) íàçûâàë ìåäèàíîé èëè ñðåäíèì äëÿ âûáîðêè, ñîñòîÿùåé èç ðàíæèðîâîê (ñì. ìîíîãðàôèþ [24]). Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ëåñíûõ ïîæàðîâ ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (1) áûëî ââåäåíî "ñðåäíåóêëîíÿåìîå ìíîæåñòâî" äëÿ îïèñàíèÿ ñðåäíåé âûãîðåâøåé ïëîùàäè (ñì. îá ýòîì â ìîíîãðàôèè [3]). Îáùåå îïðåäåëåíèå ñðåäíåãî âèäà (1) áûëî âïåðâûå ââåäåíî â ðàáîòå [16].
	Îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ñâÿçàííûé ñî ñðåäíèìè âèäà (1) - àíàëîã çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Ïóñòü x1,x2,…,xn  - íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå îáùåé ïðèðîäû X.  Òåîðåòè÷åñêèì ñðåäíèì, èëè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, â ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû íàçûâàþò
.		(3)
Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ñîñòîèò â ñõîäèìîñòè En(d) ê En(x1,d) ïðè . Ïîñêîëüêó è ýìïèðè÷åñêîå, è òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíèå - ìíîæåñòâà, òî ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè òðåáóåò óòî÷íåíèÿ.
	Îäíî èç âîçìîæíûõ óòî÷íåíèé, âïåðâûå ââåäåííîå â ðàáîòå [16], òàêîâî. Äëÿ ôóíêöèè 
		(4)
ââåäåì ïîíÿòèå "-ïÿòêè" (>0) 
	(5)
Î÷åâèäíî,  - ïÿòêà f - ýòî îêðåñòíîñòü Argmin(f) (åñëè îí äîñòèãàåòñÿ), çàäàííàÿ â òåðìèíàõ ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè. Òåì ñàìûì ñíèìàåòñÿ âîïðîñ î âûáîðå ìåòðèêè â ïðîñòðàíñòâå X. Òîãäà ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ëþáîãî >0 âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ 
		(6)
ñòðåìèòñÿ ê 1 ïðè., ò.å. ñïðàâåäëèâ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèâîäèòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå íàñòîÿùåé ãëàâû.
	Åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü îáùóþ òåîðèþ îïòèìèçàöèîííîãî ïîäõîäà â ñòàòèñòèêå. Êàê èçâåñòíî, áîëüøèíñòâî çàäà÷ ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â êà÷åñòâå îïòèìèçàöèîííûõ [12]. Êàê ñåáÿ âåäóò ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷? ×àñòíûå ñëó÷àè ýòîé ïîñòàíîâêè: êàê âåäóò ñåáÿ ïðè ðîñòå îáúåìà âûáîðêè îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ìèíèìàëüíîãî êîíòðàñòà (â òîì ÷èñëå ðîáàñòíûå â ñìûñëå Òüþêè-Õüþáåðà - ñì. ãëàâó 10), îöåíêè íàãðóçîê â ôàêòîðíîì àíàëèçå è ìåòîäå ãëàâíûõ êîìïîíåíò ïðè îòñóòñòâèè íîðìàëüíîñòè, îöåíêè ìåòîäà íàèìåíüøèõ ìîäóëåé â ðåãðåññèè è ò.ä. 
	Îáû÷íî ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ïðîñòðàíñòâ X è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.fn(x) ïðè. íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ f(x) òàêàÿ, ÷òî
		(7)
 äëÿ ëþáîãî  (ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè). Òðåáóåòñÿ âûâåñòè îòñþäà, ÷òî
		(8)
ò.å. ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ òàêæå ñõîäÿòñÿ. Ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè â ñîîòíîøåíèè (8) óòî÷íÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ -ïÿòîê, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå äëÿ çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè, ïðè êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå (8), ïðèâåäåíû â èññëåäîâàíèè [27]. Â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ðåàëüíûõ çàäà÷ ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ.
	Êàê îöåíèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà â ïðîñòðàíñòâå îáùåé ïðèðîäû? Ïîñêîëüêó ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðèìåíèìî, åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè. ×òî òàêîå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû? Ýòî ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà (ò.å. ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
 ,		(9)
ãäå.- íåêîòîðàÿ ìåðà â X. Ðÿä íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê ïëîòíîñòè áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòå [16]. Íàïðèìåð, àíàëîãîì ÿäåðíûõ îöåíîê ïëîòíîñòè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà
		(10)
ãäå d - ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ; H - ÿäåðíàÿ ôóíêöèÿ; hn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë;  - íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü. Óäàëîñü óñòàíîâèòü, ÷òî, ÷òî ñòàòèñòèêè òèïà (10) îáëàäàþò òàêèìè æå ñâîéñòâàìè, ïî êðàéíåé ìåðå ïðè ôèêñèðîâàííîì x, ÷òî è èõ êëàññè÷åñêèå àíàëîãè ïðè X = R1. Â ÷àñòíîñòè, òàêîé æå ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñòè. Íåêîòîðûå èçìåíåíèÿ íåîáõîäèìû ïðè ðàññìîòðåíèè äèñêðåòíûõ , êàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ ìíîãèå ïðîñòðàíñòâà êîíêðåòíûõ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Ñ ïîìîùüþ íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê ïëîòíîñòè ìîæíî ðàçâèâàòü ðåãðåññèîííûé àíàëèç, äèñêðèìèíàíòíûé àíàëèç è äðóãèå íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé ïðèðîäû (ñì. ïóíêò 5 íèæå).
	Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç ñîãëàñèÿ, îäíîðîäíîñòè, íåçàâèñèìîñòè â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé ïðèðîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ñòàòèñòèêè èíòåãðàëüíîãî òèïà
		(11)
ãäå -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íà X;  - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ðàñïðåäåëåíèé (èëè çàðÿäîâ). Îáû÷íî  ïðè  ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè , à  - ê ðàñïðåäåëåíèþ F(x). Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè èíòåãðàëüíîãî òèïà (11) ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà
		(12)
	Óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòî ñïðàâåäëèâî, äàíû â ðàáîòå [28]. Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ - âûâîä ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè òèïà îìåãà-êâàäðàò äëÿ ïðîâåðêè ñèììåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ãëàâó 4).
	Ïåðåéäåì ê ñòàòèñòèêå êîíêðåòíûõ âèäîâ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû.
Òåîðèÿ èçìåðåíèé. Öåëü òåîðèè èçìåðåíèé - áîðüáà ñ ñóáúåêòèâèçìîì èññëåäîâàòåëÿ ïðè ïðèïèñûâàíèè ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ðåàëüíûì îáúåêòàì. Òàê, ðàññòîÿíèÿ ìîæíî èçìåðÿòü â ìåòðàõ, ìèêðîíàõ, ìèëÿõ, ïàðñåêàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ èçìåðåíèÿ. Âûáîð åäèíèö èçìåðåíèÿ çàâèñèò îò èññëåäîâàòåëÿ, ò.å. ñóáúåêòèâåí. Ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû ìîãóò áûòü àäåêâàòíû ðåàëüíîñòè òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè íå çàâèñÿò îò òîãî, êàêóþ èìåííî åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïðåäïî÷òåò èññëåäîâàòåëü, ò.å. êîãäà îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ øêàëû.
	Òåîðèÿ èçìåðåíèé èçâåñòíà â íàøåé ñòðàíå óæå îêîëî 30 ëåò. Ñ íà÷àëà ñåìèäåñÿòûõ ãîäîâ àêòèâíî ðàáîòàþò îòå÷åñòâåííûå èññëåäîâàòåëè. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè èçìåðåíèé âêëþ÷àþò â ñïðàâî÷íûå èçäàíèÿ, ïîìåùàþò â íàó÷íî-ïîïóëÿðíûå æóðíàëû è êíèãè äëÿ äåòåé. Îäíàêî îíà åùå íå ñòàëà îáùåèçâåñòíîé ñðåäè ñïåöèàëèñòîâ, â ÷àñòíîñòè, ñðåäè ìåòðîëîãîâ. Ïîýòîìó îïèøåì îäíó èç çàäà÷ òåîðèè èçìåðåíèé (ñð. ãëàâó 3).
	Êàê èçâåñòíî, øêàëà çàäàåòñÿ ãðóïïîé äîïóñòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ïðÿìîé â ñåáÿ). Íîìèíàëüíàÿ øêàëà (øêàëà íàèìåíîâàíèé) çàäàåòñÿ ãðóïïîé âñåõ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, øêàëà ïîðÿäêà - ãðóïïîé âñåõ ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ýòî - øêàëû êà÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ. Ãðóïïà ëèíåéíûõ âîçðàñòàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé  çàäàåò øêàëó èíòåðâàëîâ. Ãðóïïà  îïðåäåëÿåò øêàëó îòíîøåíèé. Íàêîíåö, ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îïèñûâàåò àáñîëþòíóþ øêàëó. Ýòî - øêàëû êîëè÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ. Èñïîëüçóþò è íåêîòîðûå äðóãèå øêàëû. 
	Ïðàêòè÷åñêóþ ïîëüçó òåîðèè èçìåðåíèé îáû÷íî äåìîíñòðèðóþò íà ïðèìåðå çàäà÷è ñðàâíåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé äëÿ äâóõ ñîâîêóïíîñòåé îäèíàêîâîãî îáúåìà x1, x2,…,xn è y1, y2,…,yn. Ïóñòü ñðåäíåå âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè  Åñëè 
f(x1, x2,…,xn)<f(y1, y2,…,yn),.		(13)
òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû
	(14)
äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ  èç çàäàþùåé øêàëó ãðóïïû . (Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, êàêîå èç ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé øêàëû âûáðàë èññëåäîâàòåëü.)
	Òðåáîâàíèå ðàâíîñèëüíîñòè íåðàâåíñòâ (13) è (14) âìåñòå ñ íåêîòîðûìè óñëîâèÿìè ðåãóëÿðíîñòè ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî â ïîðÿäêîâîé øêàëå â êà÷åñòâå ñðåäíèõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî ÷ëåíû âàðèàöèîííîãî ðÿäà, â ÷àñòíîñòè, ìåäèàíó, íî íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå, ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, è ò.ä. Â êîëè÷åñòâåííûõ øêàëàõ ýòî òðåáîâàíèå âûäåëÿåò èç âñåõ îáîáùåííûõ ñðåäíèõ ïî À.Í. Êîëìîãîðîâó â øêàëå èíòåðâàëîâ - òîëüêî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, à â øêàëå îòíîøåíèé - òîëüêî ñòåïåííûå ñðåäíèå. Êðîìå ñðåäíèõ, àíàëîãè÷íûå çàäà÷è ðàññìîòðåíû äëÿ ðàññòîÿíèé, ìåð ñâÿçè ñëó÷àéíûõ ïðèçíàêîâ è äðóãèõ ïðîöåäóð àíàëèçà äàííûõ. 
	Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû î ñðåäíèõ âåëè÷èíàõ ïðèìåíÿëèñü, íàïðèìåð, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñèñòåìû äàò÷èêîâ â ÀÑÓ ÒÏ äîìåííûõ ïå÷åé. Âåëèêî ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå òåîðèè èçìåðåíèé â çàäà÷àõ ñòàíäàðòèçàöèè è óïðàâëåíèÿ êà÷åñòâîì, â ÷àñòíîñòè, â êâàëèìåòðèè. Òàê, Â.Â. Ïîäèíîâñêèé ïîêàçàë, ÷òî ëþáîå èçìåíåíèå êîýôôèöèåíòîâ âåñîìîñòè åäèíè÷íûõ ïîêàçàòåëåé êà÷åñòâà ïðîäóêöèè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ óïîðÿäî÷åíèÿ èçäåëèé ïî ñðåäíåâçâåøåííîìó ïîêàçàòåëþ, à Í.Â. Õîâàíîâ ðàçâèë îäíó èç âîçìîæíûõ òåîðèé øêàë èçìåðåíèÿ êà÷åñòâà. Òåîðèÿ èçìåðåíèé ïîëåçíà è â äðóãèõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ.
Ñòàòèñòèêà áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Îöåíèâàíèå öåíòðà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ïðîâîäÿò îáû÷íî ñ ïîìîùüþ ìåäèàíû Êåìåíè. Ñîñòîÿòåëüíîñòü âûòåêàåò èç çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë [3]. Âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû íàõîæäåíèÿ ìåäèàíû Êåìåíè çäåñü íå îáñóæäàåì.
	Ìåòîäû ïðîâåðêè ãèïîòåç ðàçâèòû îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ðàçíîâèäíîñòè áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Â îáëàñòè ñòàòèñòèêè ðàíæèðîâîê, èëè ðàíãîâîé êîððåëÿöèè, êëàññè÷åñêîé ÿâëÿåòñÿ êíèãà Êåíäàëëà [6]. Ñîâðåìåííûå äîñòèæåíèÿ îòðàæåíû â ðàáîòàõ Þ.Í.Òþðèíà è Ä.Ñ.Øìåðëèíãà. Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ðàçáèåíèé ðàçâèòà À.Â.Ìààìÿãè. Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ òîëåðàíòíîñòåé (ðåôëåêñèâíûõ ñèììåòðè÷íûõ îòíîøåíèé) èçëîæåíà â ðàáîòå [3]. Ìíîãèå åå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè çàäà÷ òåîðèè ëþñèàíîâ.
Òåîðèÿ ëþñèàíîâ (áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ). Ëþñèàí (áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð) - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûìè âåðîÿòíîñòÿìè óñïåõà. Ðåàëèçàöèÿ ëþñèàíà (áåðíóëëèåâñêîãî âåêòîðà) - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 0 è 1. Ëþñèàíû (áåðíóëëèåâñêèå âåêòîðà) ðàññìàòðèâàëèñü êàê ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè, à òàêæå - êàê ðåçóëüòàòû íåçàâèñèìûõ ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåçóëüòàòîâ êîíòðîëÿ êà÷åñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åäèíèö ïðîäóêöèè ïî àëüòåðíàòèâíîìó ïðèçíàêó - òàêæå ðåàëèçàöèÿ ëþñèàíà (áåðíóëëèåâñêîãî âåêòîðà). Ñëó÷àéíàÿ òîëåðàíòíîñòü ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå ëþñèàíà. Ïîñêîëüêó îäèí è òîò æå ýêîíîìåòðè÷åñêèé îáúåêò ïðèìåíÿåòñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ, åñòåñòâåííî äëÿ åãî íàèìåíîâàíèÿ ïðèìåíÿòü ñïåöèàëüíî ââåäåííûé òåðìèí "áåðíóëëèåâñêèé âåêòîð". Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí "ëþñèàí".
	Â ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè èçó÷àþò ìåòîäû ïðîâåðêè ñîãëàñîâàííîñòè (îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè), îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê, íåçàâèñèìîñòè ëþñèàíîâ. Ìåòîäû ïðîâåðêè óêàçàííûõ ãèïîòåç íàöåëåíû íà ñèòóàöèþ, êîãäà ÷èñëî áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ ôèêñèðîâàíî, à èõ äëèíà ðàñòåò. Ïðè ýòîì ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó äàííûõ, ò.å. òåîðèÿ ïîñòðîåíà â àñèìïòîòèêå ðàñòóùåãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ. Ðàíåå ïîäîáíàÿ àñèìïòîòèêà ïîä íàçâàíèåì àñèìïòîòèêè À.Í.Êîëìîãîðîâà èñïîëüçîâàëàñü â äèñêðèìèíàíòíîì àíàëèçå, íî òàì ïðèìåíÿëèñü ñîâñåì äðóãèå ìåòîäû.
	Íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïàðíûõ ñðàâíåíèé (â ïðåäïîëîæåíèè íåçàâèñèìîñòè ðåçóëüòàòîâ îòäåëüíûõ ñðàâíåíèé) - ÷àñòü òåîðèè áåðíóëëèåâñêèõ âåêòîðîâ. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñâÿçàíà â îñíîâíîì ñ ïîïûòêàìè âûðàçèòü âåðîÿòíîñòè òîãî èëè èíîãî èñõîäà ÷åðåç çíà÷åíèÿ ãèïîòåòè÷åñêèõ èëè ðåàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñðàâíèâàåìûõ îáúåêòîâ. Èçâåñòíû ìîäåëè Òåðñòîóíà, Áðåäëè-Òåððè-Ëüþñà è äð.. Â ÑÑÑÐ ïîñòðîåí ðÿä íîâûõ ìîäåëåé ïàðíûõ ñðàâíåíèé (ñì. âûøå - âòîðîé ïóíêò íàñòîÿùåé ãëàâû). Èìåþòñÿ ìîäåëè ïàðíûõ ñðàâíåíèé ñ òðåìÿ èñõîäàìè (áîëüøå, ìåíüøå, íåðàçëè÷èìî), ìîäåëè çàâèñèìûõ ñðàâíåíèé, ñðàâíåíèé íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ (ñáëèæàþùèå ðàññìàòðèâàåìóþ îáëàñòü ñ òåîðèåé ñëó÷àéíûõ ðàíæèðîâîê) è ò.ä. 
Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ è íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Äàâíþþ èñòîðèþ èìååò ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ (îòðåçêîâ, òðåóãîëüíèêîâ, êðóãîâ è ò.ä.). Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ ñëîæèëàñü ïðè èçó÷åíèè ïîðèñòûõ ñðåä è îáúåêòîâ ñëîæíîé ïðèðîäû â òàêèõ îáëàñòÿõ, êàê ìåòàëëîãðàôèÿ, ïåòðîãðàôèÿ, áèîëîãèÿ. Ðàçëè÷íûå íàïðàâëåíèÿ âíóòðè ýòîé òåîðèè ðàññìîòðåíû â ðàáîòå [3, ãë.4]. Îñòàíîâèìñÿ íà äâóõ.
	Ñëó÷àéíûå ìíîæåñòâà, ëåæàùèå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ìîæíî ñêëàäûâàòü: ñóììà ìíîæåñòâ A è B- - ýòî îáúåäèíåíèå âñåõ âåêòîðîâ x+y, ãäå  Í.Í. Ëÿøåíêî ïîëó÷èë àíàëîãè çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë, öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû, ðÿäà ìåòîäîâ ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè, ñèñòåìàòè÷åñêè èñïîëüçóÿ ïîäîáíûå ñóììû.
	Äëÿ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû èíòåðåñíåå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ëèíåéíûìè. Â ðàáîòå [3] ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå çàäà÷è òåîðèè êîíå÷íûõ ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ. Ðÿä èíòåðåñíûõ ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷èë Ñ.À.Êîâÿçèí, â ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë íàøó ãèïîòåçó î ñïðàâåäëèâîñòè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè
		(15)
 ãäå  - íåêîòîðàÿ ìåðà;. - çíàê ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè. Ðàññòîÿíèå (15) âûâåäåíî èç íåêîòîðîé ñèñòåìû àêñèîì â ìîíîãðàôèè [3]. Ïðèêëàäíèêè òàêæå äåëàþò ïîïûòêè ðàçâèâàòü ìåòîäû ñòàòèñòèêè ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ.
	Ñ òåîðèåé ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ òåñíî ñâÿçàíà òåîðèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, íà÷àëî êîòîðîé ïîëîæåíî ñòàòüåé Ë.À.Çàäå 1965 ã. Ýòî íàïðàâëåíèå ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëî áóðíîå ðàçâèòèå - ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ÷èñëî ïóáëèêàöèé èçìåðÿåòñÿ äåñÿòêàìè òûñÿ÷, èìåþòñÿ ìåæäóíàðîäíûå æóðíàëû, ïîñòîÿííî ïðîâîäÿòñÿ êîíôåðåíöèè, ïðàêòè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äàëè îùóòèìûé òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèé ýôôåêò. Ïðè èçëîæåíèè òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ îáû÷íî íå ïîä÷åðêèâàåòñÿ ñâÿçü ñ âåðîÿòíîñòíûìè ìîäåëÿìè. Ìåæäó òåì åùå â ïåðâîé ïîëîâèíå 1970-õ ãîäîâ áûëî óñòàíîâëåíî [3], ÷òî òåîðèÿ íå÷åòêîñòè â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ñâîäèòñÿ ê òåîðèè ñëó÷àéíûõ ìíîæåñòâ, õîòÿ ýòà ñâÿçü è èìååò ëèøü òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå.  
	Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû íå÷åòêèå ìíîæåñòâà - ëèøü îäèí èç âèäîâ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Ïîýòîìó ê íèì ïðèìåíèìà îáùàÿ òåîðèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû. Èìåþòñÿ ðàáîòû, â êîòîðûõ ñîâìåñòíî èñïîëüçóþòñÿ ñîîáðàæåíèÿ âåðîÿòíîñòè è íå÷åòêîñòè.
Ìíîãîìåðíîå øêàëèðîâàíèå è àêñèîìàòè÷åñêîå ââåäåíèå ìåòðèê. Ìíîãîìåðíîå øêàëèðîâàíèå èìååò öåëüþ ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòîâ òî÷êàìè â ïðîñòðàíñòâå íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè (1-3) ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ñîõðàíåíèåì ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè.
	Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, êàêîå áîëüøîå ìåñòî çàíèìàþò â ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû ìåòðèêè (ðàññòîÿíèÿ). Êàê èõ âûáðàòü? Ïðåäëàãàþò âûâîäèòü âèä ìåòðèê èç íåêîòîðûõ ñèñòåì àêñèîì. Àêñèîìàòè÷åñêè ïîëó÷åíà ìåòðèêà â ïðîñòðàíñòâå ðàíæèðîâîê, êîòîðàÿ îêàçàëàñü ëèíåéíî ñâÿçàííîé ñ êîýôôèöèåíòîì ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Êåíäàëëà. Ìåòðèêà (15) â ïðîñòðàíñòâå ìíîæåñòâ ïîëó÷åíà â ðàáîòå [3] òàêæå èñõîäÿ èç íåêîòîðîé ñèñòåìû àêñèîì. Ã.Â.Ðàóøåíáàõîì [23] äàíà ñâîäêà ïî àêñèîìàòè÷åñêîìó ïîäõîäó ê ââåäåíèþ ìåòðèê â ïðîñòðàíñòâàõ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðàêòè÷åñêè äëÿ êàæäîé èñïîëüçóåìîé â ïðèêëàäíûõ ðàáîòàõ ìåòðèêè óäàëîñü ïîäîáðàòü ñèñòåìó àêñèîì, èç êîòîðîé ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ìîæíî âûâåñòè èìåííî ýòó ìåòðèêó.
Ïðèìåíåíèÿ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Èäåè, ïîäõîäû, ðåçóëüòàòû ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû îêàçàëèñü ïîëåçíûìè è â êëàññè÷åñêèõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè. Ñòàòèñòèêà â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåé ïðèðîäû ïîçâîëèëà ñ åäèíûõ ïîçèöèé ðàññìîòðåòü âñþ ïðèêëàäíóþ ñòàòèñòèêó, â ÷àñòíîñòè, ïîêàçàòü, ÷òî ðåãðåññèîííûé, äèñïåðñèîííûé è äèñêðèìèíàíòíûé àíàëèçû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îáùåé ñõåìû ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû. Ïîñêîëüêó ñòðóêòóðà ìîäåëè - îáúåêò íå÷èñëîâîé ïðèðîäû, òî åå îöåíèâàíèå, â ÷àñòíîñòè, îöåíèâàíèå ñòåïåíè ïîëèíîìà â ðåãðåññèè, òàêæå îòíîñèòñÿ ê ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ âñåãäà èìåþò ïîãðåøíîñòü, ò.å. ÿâëÿþòñÿ íå ÷èñëàìè, à èíòåðâàëàìè èëè íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè, òî ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåñìîòðåòü íåêîòîðûå âûâîäû òåîðåòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Íàïðèìåð, îòñóòñòâóåò ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê, íåöåëåñîîáðàçíî óâåëè÷èâàòü îáúåì âûáîðîê ñâåðõ íåêîòîðîãî ïðåäåëà (ñì. ãëàâó 9).
	Òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü îò ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû äîñòàòî÷íî âûñîêà [114]. Ê ñîæàëåíèþ, èç-çà èçìåíåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè, â ÷àñòíîñòè, èç-çà èíôëÿöèè òðóäíî ñîïîñòàâèòü êîíêðåòíûå ýêîíîìè÷åñêèå ðåçóëüòàòû â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Êðîìå òîãî, ìåòîäû ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû ñîñòàâëÿþò ÷àñòü ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìåòîäîâ, à òå, â ñâîþ î÷åðåäü - ÷àñòü ìåòîäîâ, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó èíôîðìàöèîííîé ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé íà ïðåäïðèÿòèè. Êàêóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ïðèáûëè ïðåäïðèÿòèÿ íàäî îòíåñòè íà ýòó ñèñòåìó? Ìû çíàåì, êàê ðàáîòàåò ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ ôèðìîé â íàñòîÿùåì âèäå, íî ìîæåì òîëüêî ãàäàòü (à òî÷íåå, îöåíèâàòü, ñêîðåå âñåãî, ñ ïîìîùüþ ýêñïåðòíûõ îöåíîê), êàêîâû áûëè áû ðåçóëüòàòû ôèíàíñîâî-õîçÿéñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè ïðåäïðèÿòèÿ, åñëè áû ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ ôèðìîé áûëà áû èíîé, íàïðèìåð, íå ñîäåðæàëà ìåòîäîâ ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû.

8.4. Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë è ñîñòîÿòåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê 
â ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû
 
	Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë ñîñòîÿò â òîì, ÷òî ýìïèðè÷åñêèå ñðåäíèå ñõîäÿòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì. Â êëàññè÷åñêîì âàðèàíòå: âûáîðî÷íîå ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ïðè ðîñòå ÷èñëà ñëàãàåìûõ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ. Íà îñíîâå çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë îáû÷íî äîêàçûâàþò ñîñòîÿòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê. Â öåëîì ýòà òåìàòèêà çàíèìàåò çàìåòíîå ìåñòî â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. 
	Îäíàêî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ïðè ýòîì îñíîâàí íà ñâîéñòâàõ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (âåêòîðîâ, ýëåìåíòîâ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ). Ñëåäîâàòåëüíî, îí íå ïðèãîäåí äëÿ èçó÷åíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ è ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîáëåì, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûìè îáúåêòàìè íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Ýòî òàêèå îáúåêòû, êàê áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, âîîáùå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâ áåç âåêòîðíîé ñòðóêòóðû. Îáúåêòû íå÷èñëîâîé ïðèðîäû âñå ÷àùå âñòðå÷àþòñÿ â ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèÿõ.  Ìíîãî êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ ïðèâåäåíî âûøå â íàñòîÿùåé ãëàâå. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì ïîëó÷åíèå çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë â ïðîñòðàíñòâàõ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû. Íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùèå çàäà÷è.
	À) Îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ýìïèðè÷åñêîãî ñðåäíåãî.
	Á) Îïðåäåëèòü ïîíÿòèå òåîðåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî.
	Â) Ââåñòè ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ ê òåîðåòè÷åñêîìó.
	Ã) Äîêàçàòü ïðè òåõ èëè èíûõ êîìïëåêñàõ óñëîâèé ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ ê òåîðåòè÷åñêîìó.
	Ä) Îáîáùèâ ýòî äîêàçàòåëüñòâî, ïîëó÷èòü ìåòîä îáîñíîâàíèÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè ðàçëè÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê.
	Å) Äàòü ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Ââèäó ïðèíöèïèàëüíîé âàæíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ðåçóëüòàòîâ ïðèâîäèì  äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë, à òàêæå ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî àíàëèçà ìíîæåñòâà ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ.
Îïðåäåëåíèÿ ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ïóñòü X - ïðîñòðàíñòâî ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, x1, x2, x3,...,xn - åãî ýëåìåíòû. ×òîáû ââåñòè ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå äëÿ x1, x2, x3,...,xn  áóäåì èñïîëüçîâàòü äåéñòâèòåëüíîçíà÷íóþ (ò.å. ñ ÷èñëîâûìè çíà÷åíèÿìè) ôóíêöèþ f(x,y) äâóõ ïåðåìåííûõ ñî çíà÷åíèÿìè â X. Â ñòàíäàðòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáîçíà÷åíèÿõ, Âåëè÷èíà f(x,y) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ ìåæäó x è y: ÷åì f(x,y) áîëüøå, òåì x è y ñèëüíåå ðàçëè÷àþòñÿ. Â êà÷åñòâå f ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàññòîÿíèå â Õ, êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ è ò.ï. 
	Îïðåäåëåíèå 1. Ñðåäíåé âåëè÷èíîé äëÿ ñîâîêóïíîñòè x1, x2, x3,...,xn  (îòíîñèòåëüíî ìåðû ðàçëè÷èÿ f), îáîçíà÷àåìîé ëþáûì èç òðåõ ñïîñîáîâ:
õñð  = En(f) = En(x1, x2, x3,...,xn ; f) ,
íàçûâàåì ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è

	Ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñóåòñÿ ñ êëàññè÷åñêèì: åñëè Õ = R1, f(x,y) = (x - y)2, òî õñð - âûáîðî÷íîå ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Åñëè æå Õ = R1, f(x,y) = |x - y|, òî ïðè n = 2k+1 èìååì õñð = x(k+1), ïðè n= 2k ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì [x(k), x(k+1)]. Çäåñü ÷åðåç x(i) îáîçíà÷åí i-ûé ÷ëåí âàðèàöèîííîãî ðÿäà, ïîñòðîåííîãî ïî x1, x2, x3,...,xn, ò.å. i-ÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòàòèñòèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè Õ = R1, f(x,y) = |x - y| ðåøåíèå çàäà÷è (1) äàåò åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîé ìåäèàíû, ïðàâäà, íåñêîëüêî îòëè÷àþùååñÿ îò ïðåäëàãàåìîãî â êóðñàõ "Îáùåé òåîðèè ñòàòèñòèêè", â êîòîðîì ïðè n= 2k ìåäèàíîé íàçûâàþò ïîëóñóììó äâóõ öåíòðàëüíûõ ÷ëåíîâ âàðèàöèîííîãî ðÿäà (x(k) + x(k+1))/2. Èíîãäà x(k) íàçûâàþò ëåâîé ìåäèàíîé , à õ(k+1) - ïðàâîé ìåäèàíîé [3].
	Ðåøåíèåì çàäà÷è (1) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî En(f), êîòîðîå ìîæåò áûòü ïóñòûì, ñîñòîÿòü èç îäíîãî èëè ìíîãèõ ýëåìåíòîâ. Âûøå ïðèâåäåí ïðèìåð, êîãäà ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê. Åñëè Õ = R1 \ {õ0} , f(x,y) = (x - y)2 , à ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âûáîðêè ðàâíî õ0, òî En(f) ïóñòî. 
	Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðåàëüíûõ ñèòóàöèé ÷àñòî ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî Õ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, à òîãäà En(f) íåïóñòî - ìèíèìóì íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå âñåãäà äîñòèãàåòñÿ.
	 Ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà  ñî çíà÷åíèÿìè â Õ, åãî ðàñïðåäåëåíèÿ, íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ èñïîëüçóåì ñîãëàñíî ïóíêòó 2 íàñòîÿùåé ãëàâû, ò.å. ñïðàâî÷íèêó Þ.Â. Ïðîõîðîâà è Þ.À. Ðîçàíîâà [25]. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî -àëãåáðû, ó÷àñòâóþùåé â îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà . Òîãäà  ïðè ôèêñèðîâàííîì y ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
	Îïðåäåëåíèå 2. Òåîðåòè÷åñêèì ñðåäíèì (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì) äëÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà  îòíîñèòåëüíî ìåðû ðàçëè÷èÿ f, îáîçíà÷àåìîì E(x,f), íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è 

	Ýòî îïðåäåëåíèå òàêæå ñîãëàñóåòñÿ ñ êëàññè÷åñêèì. Åñëè Õ = R1, f(x,y) = (x - y)2, òî E(x,f) = E(x) - îáû÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ïðè ýòîì E - äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû . Åñëè æå Õ = R1 , f(x,y) = |x - y| , òî E(x,f) = [a,b], ãäå a = sup{t: F(t)<0,5}, b = inf{t: F(t)>0,5}, ïðè÷åì F(t) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû . Åñëè ãðàôèê F(t) èìååò ïëîñêèé ó÷àñòîê íà óðîâíå F(t) = 0,5, òî ìåäèàíà - òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2 - ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì. Â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò îòðåçêà [a; b] ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ìåäèàíû. Ïîñêîëüêó íàëè÷èå óêàçàííîãî ïëîñêîãî ó÷àñòêà - èñêëþ÷èòåëüíûé ñëó÷àé, òî îáû÷íî ðåøåíèåì çàäà÷è (2) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî èç îäíîãî ýëåìåíòà a = b - êëàññè÷åñêàÿ ìåäèàíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû . 
	Òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå E(x,f) ìîæíî îïðåäåëèòü ëèøü òîãäà, êîãäà  ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ . Îíî ìîæåò áûòü ïóñòûì ìíîæåñòâîì, íàïðèìåð, åñëè Õ = R1 \ {õ0} , f(x,y) = (x - y)2 , x0= E(x). È òî, è äðóãîå èñêëþ÷àåòñÿ, åñëè Õ êîíå÷íî. Îäíàêî è äëÿ êîíå÷íûõ Õ òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå ìîæåò ñîñòîÿòü íå èç îäíîãî, à èç ìíîãèõ ýëåìåíòîâ. Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî â ìíîæåñòâå âñåõ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé íà Õ ïîäìíîæåñòâî òåõ ðàñïðåäåëåíèé, äëÿ êîòîðûõ E(x,f) ñîñòîèò áîëåå ÷åì èç îäíîãî ýëåìåíòà, èìååò êîðàçìåðíîñòü 1, ïîýòîìó îñíîâíîé ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ìíîæåñòâî E(x,f) ñîäåðæèò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò [3].
Ñóùåñòâîâàíèå ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ïîä ñóùåñòâîâàíèåì ñðåäíèõ âåëè÷èí áóäåì ïîíèìàòü íåïóñòîòó ìíîæåñòâ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷.
	Åñëè Õ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, òî ìèíèìóì â çàäà÷àõ (1) è (2) áåðåòñÿ ïî êîíå÷íîìó ìíîæåñòâó, à ïîòîìó, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ýìïèðè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå ñðåäíèå ñóùåñòâóþò. 
	Ââèäó âàæíîñòè îáñóæäàåìîé òåìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâà. Äëÿ ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî èçëîæåíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ òåðìèíû èç ðàçäåëà ìàòåìàòèêè ïîä íàçâàíèåì "îáùàÿ òîïîëîãèÿ". Òîïîëîãè÷åñêèå òåðìèíû è ðåçóëüòàòû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêîé ìîíîãðàôèåé [29]. Òàê, òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áèêîìïàêòíûì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èç êàæäîãî åãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå [29, ñ.183].. 
	Òåîðåìà 1. Ïóñòü Õ - áèêîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî, ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà Õ2 (â òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ). Òîãäà ýìïèðè÷åñêîå è òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíèå ñóùåñòâóþò.
	Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f(xi,y) îò y íåïðåðûâíà, ñóììà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíà, íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà áèêîìïàêòå äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà, îòêóäà è ñëåäóåò çàêëþ÷åíèå òåîðåìû îòíîñèòåëüíî ýìïèðè÷åñêîãî ñðåäíåãî. 
	Ïåðåéäåì ê òåîðåòè÷åñêîìó ñðåäíåìó. Ïî òåîðåìå Òèõîíîâà [29, ñ.194] èç áèêîìïàêòíîñòè Õ âûòåêàåò áèêîìïàêòíîñòü Õ2. Äëÿ êàæäîé òî÷êè (x, y) èç Õ2 ðàññìîòðèì  - îêðåñòíîñòü â Õ2 â ñìûñëå ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ f, ò.å. ìíîæåñòâî 

Ïîñêîëüêó f íåïðåðûâíà, òî ìíîæåñòâà U(x,y) îòêðûòû â ðàññìàòðèâàåìîé òîïîëîãèè â Õ2. Ïî òåîðåìå Óîëëåñà [29, ñ.193] ñóùåñòâóþò îòêðûòûå (â Õ) ìíîæåñòâà V(x) è W(y), ñîäåðæàùèå x è y ñîîòâåòñòâåííî è òàêèå, ÷òî èõ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå V(x) x W(y) öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ âíóòðè U(x, y).
	Ðàññìîòðèì ïîêðûòèå Õ2 îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè V(x) x W(y). Èç áèêîìïàêòíîñòè Õ2 âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïîäïîêðûòèÿ {V(xi) x W(yi), i = 1,2,...,m}. Äëÿ êàæäîãî õ èç Õ ðàññìîòðèì âñå äåêàðòîâû ïðîèçâåäåíèÿ V(xi) x W(yi), êóäà âõîäèò òî÷êà (x, y) ïðè êàêîì-ëèáî y. Òàêèõ äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé è èõ ïåðâûõ ìíîæèòåëåé V(xi) êîíå÷íîå ÷èñëî. Âîçüìåì ïåðåñå÷åíèå òàêèõ ïåðâûõ ìíîæèòåëåé V(xi) è îáîçíà÷èì åãî Z(x). Ýòî ïåðåñå÷åíèå îòêðûòî, êàê ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, è ñîäåðæèò òî÷êó õ. Èç ïîêðûòèÿ áèêîìïàêòíîãî ïðîñòðàíñòâà X îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè Z(x) âûáåðåì îòêðûòîå ïîäïîêðûòèå Z1, Z2, ..., Zk.
	Ïîêàæåì, ÷òî åñëè  è  ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå Zj ïðè íåêîòîðîì j, òî 
	(3)
Ïóñòü Zj = Z(x0) ïðè íåêîòîðîì x0. Ïóñòü V(xi) x W(yi), , - ñîâîêóïíîñòü âñåõ òåõ èñõîäíûõ äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé èç ñèñòåìû {V(xi) x W(yi), i = 1,2,...,m}, êóäà âõîäÿò òî÷êè (x0, y) ïðè ðàçëè÷íûõ y. Ïîêàæåì, ÷òî èõ îáúåäèíåíèå ñîäåðæèò òàêæå òî÷êè  è  ïðè âñåõ y. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (õ0, y) âõîäèò â V(xi) x W(yi), òî y âõîäèò â W(yi), à  è  âìåñòå ñ x0 âõîäÿò â V(xi), ïîñêîëüêó ,   è x0  âõîäÿò â Z(x0). Òàêèì îáðàçîì,  è  ïðèíàäëåæàò V(xi) x W(yi), à ïîòîìó ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ V(xi) x W(yi)

îòêóäà è ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (3). 
	Ïîñêîëüêó Õ2 - áèêîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî, òî ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà Õ2 , à ïîòîìó ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E f(,y) äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà , óäîâëåòâîðÿþùåãî ïðèâåäåííûì â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå óñëîâèÿì ñîãëàñîâàíèÿ òîïîëîãèè, ñâÿçàííîé ñ f, è èçìåðèìîñòè, ñâÿçàííîé ñ . Åñëè õ1 è õ2 ïðèíàäëåæàò îäíîìó îòêðûòîìó ìíîæåñòâó Zj , òî 

à ïîòîìó ôóíêöèÿ 
g(y) = E f(,y)		(4)
íåïðåðûâíà íà Õ. Ïîñêîëüêó íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà áèêîìïàêòíîì ìíîæåñòâå äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå òî÷êè z, íà êîòîðûõ g(z) = inf{g(y), yX}, òî òåîðåìà 1 äîêàçàíà. 
	Â ðÿäå èíòåðåñíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé ñèòóàöèé Õ íå ÿâëÿåòñÿ áèêîìïàêòíûì ïðîñòðàíñòâîì. Íàïðèìåð, åñëè Õ = R1. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ íàëîæèòü íà ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ f íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ, íàïðèìåð, òàê, êàê ýòî ñäåëàíî â òåîðåìå 2.
	Òåîðåìà 2. Ïóñòü Õ - òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, íåïðåðûâíàÿ (â òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ) ôóíêöèÿ f: X2R1 íåîòðèöàòåëüíà, ñèììåòðè÷íà (ò.å. f(x,y) = f (y,x) äëÿ ëþáûõ x è y èç X), ñóùåñòâóåò ÷èñëî D>0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ x,y,z èç X 
f(x,y) < D{f(x,z) + f(z,y)}.		(5)
Ïóñòü â Õ ñóùåñòâóåò òî÷êà x0  òàêàÿ, ÷òî ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì R ìíîæåñòâî{x: f(x, x0) <R} ÿâëÿåòñÿ áèêîìïàêòíûì. Ïóñòü äëÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà , ñîãëàñîâàííîãî ñ òîïîëîãèåé â ðàññìîòðåííîì âûøå ñìûñëå, ñóùåñòâóåò g(x0) = Ef(, x0 ).
	Òîãäà ñóùåñòâóþò (ò.å. íåïóñòû) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E(x,f) è ýìïèðè÷åñêèå ñðåäíèå En(f).
	Çàìå÷àíèå. Óñëîâèå (5) - íåêîòîðîå îáîáùåíèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, åñëè g - ìåòðèêà â X, à f = gp ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì p, òî äëÿ f âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (5) ñ D = 2p. 
	Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(y), îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé (4). Èìååì
f(,y) < D {f(, x0) + f(x0,,y)}.	(6)
Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ òåîðåìû g(x0) ñóùåñòâóåò, à ïîòîìó êîíå÷íî, òî èç îöåíêè (6) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå è êîíå÷íîñòü g(y) ïðè âñåõ y èç Õ. Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ýòîé ôóíêöèè.
	Ðàññìîòðèì øàð (â ñìûñëå ìåðû ðàçëè÷èÿ f ) ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â x0: 
K(R) = {x : f(x, x0) < R},  R > 0. 
Â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì òåîðåìû K(R) êàê ïîäïðîñòðàíñòâî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Õ ÿâëÿåòñÿ áèêîìïàêòíûì. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó õ èç Õ. Ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå

ãäå (Ñ) - èíäèêàòîð ìíîæåñòâà Ñ. Ñëåäîâàòåëüíî,
		(7)
Ðàññìîòðèì âòîðîå ñëàãàåìîå â (7). Â ñèëó (5)
	(8)
Âîçüìåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò îáåèõ ÷àñòåé (8):
	(9)
Â ïðàâîé ÷àñòè (9) îáà ñëàãàåìûõ ñòðåìÿòñÿ ê 0 ïðè áåçãðàíè÷íîì âîçðàñòàíèè R: ïåðâîå - â ñèëó òîãî, ÷òî 

âòîðîå - â ñèëó òîãî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà  ñîñðåäîòî÷åíî íà Õ è 

Ïóñòü U(x) - òàêàÿ îêðåñòíîñòü õ (ò.å. îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå õ), äëÿ êîòîðîé
sup {f(y, x),  yU(x)} < 
Èìååì
		(10)
Â ñèëó (9) è (10) ïðè áåçãðàíè÷íîì âîçðàñòàíèè R 
		(11)
ðàâíîìåðíî ïî yU(x). Ïóñòü R(0) òàêîâî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü (11) ìåíüøå > 0 ïðè R>R(0) è, êðîìå òîãî, yU(x) K(R(0)). Òîãäà ïðè R>R(0) 
	(12)
Íàñ èíòåðåñóåò ïîâåäåíèå âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (12) ïðè yU(x). Ðàññìîòðèì f1 - ñóæåíèå ôóíêöèè f íà çàìûêàíèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ U(x) õ K(R), è ñëó÷àéíûé ýëåìåíò  Òîãäà

ïðè yU(x), à íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè  áûëà äîêàçàíà â òåîðåìå 1. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U1(x) òî÷êè õ òàêàÿ, ÷òî 
		(13)
ïðè yU1(x). Èç (12) è (13) âûòåêàåò, ÷òî ïðè 

÷òî è äîêàçûâàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè g(x).
	Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ E(x,f). Ïóñòü R(0) òàêîâî, ÷òî 
		(14)
Ïóñòü H - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, çíà÷åíèå êîòîðîé áóäåò âûáðàíî ïîçæå. Ðàññìîòðèì òî÷êó õ  èç ìíîæåñòâà K(HR(0))Ñ - äîïîëíåíèÿ K(HR(0)), ò.å. èç âíåøíîñòè øàðà ðàäèóñà HR(0) ñ öåíòðîì â õ0. Ïóñòü Òîãäà èìååì

îòêóäà
	(15)
Âûáèðàÿ H äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (14), ÷òî ïðè xK(HR(0))Ñ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
		(16)
Ìîæíî âûáðàòü H òàê, ÷òîáû ïðàâàÿ ÷àñòü (16) ïðåâîñõîäèëà 
	Ñêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî Argmin g(x) äîñòàòî÷íî èñêàòü âíóòðè áèêîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà K(HR(0)). Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g âûòåêàåò, ÷òî åå ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ íà óêàçàííîì áèêîìïàêòíîì ìíîæåñòâå, à ïîòîìó - è íà âñåì Õ. Ñóùåñòâîâàíèå (íåïóñòîòà) òåîðåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî E(x,f) äîêàçàíà. 
	Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ýìïèðè÷åñêîãî ñðåäíåãî En(f). Åñòü èñêóøåíèå ïðîâîäèòü åãî äîñëîâíî òàê æå, êàê è äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ E(x,f), ëèøü ñ çàìåíîé 1/2 â ôîðìóëå (16) íà ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè xi â øàð K(R(0)), êàêîâàÿ, î÷åâèäíî, ñòðåìèòñÿ ê âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà  â K(R(0)), áîëüøåé 1/2 â ñîîòâåòñòâèè ñ (14). Îäíàêî ýòî ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò ëèøü, ÷òî âåðîÿòíîñòü íåïóñòîòû En(f) ñòðåìèòñÿ ê 1 ïðè áåçãðàíè÷íîì ðîñòå îáúåìà âûáîðêè. Òî÷íåå, îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî 

Ïîýòîìó ïîéäåì äðóãèì ïóòåì, íå îïèðàþùèìñÿ ê òîìó æå íà âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü âûáîðêè. Ïîëîæèì
		(17)
Åñëè õ âõîäèò â äîïîëíåíèå øàðà K(HR(1)), òî àíàëîãè÷íî (15) èìååì 
		(18)
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì H èç (17) è (18) ñëåäóåò, ÷òî 

Ñëåäîâàòåëüíî, Argmin äîñòàòî÷íî èñêàòü íà K(HR(1)). Çàêëþ÷åíèå òåîðåìû 2 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íà áèêîìïàêòíîì ïðîñòðàíñòâå K(HR(1)) ìèíèìèçèðóåòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
	Òåîðåìà 2 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Î ôîðìóëèðîâêàõ çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë. Ïóñòü  -  íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ñî çíà÷åíèÿìè â Õ. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë - ýòî óòâåðæäåíèå î ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ ê òåîðåòè÷åñêîìó ñðåäíåìó (ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ) ïðè ðîñòå îáúåìà âûáîðêè n, ò.å. óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî 
		(19)
ïðè . Îäíàêî è ñëåâà, è ñïðàâà â ôîðìóëå (19) ñòîÿò, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè â (19) òðåáóåò îáñóæäåíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. 
	Â ñèëó êëàññè÷åñêîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ïðè 
		(20)
â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóåò (òåîðåìà À.ß. Õèí÷èíà, 1923 ã.).
	Åñëè ïðîñòðàíñòâî Õ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, òî èç ñîîòíîøåíèÿ (20) ëåãêî âûòåêàåò (ñì., íàïðèìåð, [3, ñ.192-193]), ÷òî
		(21)
Äðóãèìè ñëîâàìè,  ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé .
	Åñëè  ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, , òî ñîîòíîøåíèå (21) ïåðåõîäèò â ñëåäóþùåå:
		(22)
	Îäíàêî ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ äîêàçàòåëüñòâî ñîîòíîøåíèé (21)-(22) íå äàåò äîñòàòî÷íî óâåðåííîñòè â âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ  â êà÷åñòâå îöåíêè E(x,f), ïîñêîëüêó â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà îáúåì âûáîðêè ïðåäïîëàãàåòñÿ íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òî ïðè âñåõ yX îäíîâðåìåííî ëåâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (20) ñîñðåäîòà÷èâàþòñÿ â íåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðåñòíîñòÿõ ïðàâûõ ÷àñòåé.
	Çàìå÷àíèå. Åñëè â ñîîòíîøåíèè (20) ðàññìîòðåòü ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, òî àíàëîãè÷íî (21) ïîëó÷èì ò.í. óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë [3, ñ.193-194], ñîãëàñíî êîòîðîìó ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå  âõîäèò â òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå E(x,f), íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî îáúåìà âûáîðêè n, âîîáùå ãîâîðÿ, ñëó÷àéíîãî, . Ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýòîì âèäå ñõîäèìîñòè, ïîñêîëüêó â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòàíîâêàõ, ïîäðîáíî ðàçîáðàííûõ â ìîíîãðàôèè [3], íåò ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èé îò ñëó÷àÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè.
	Åñëè Õ íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì, íàïðèìåð, Õ = R1 , òî ñîîòíîøåíèÿ (21) è (22) íåâåðíû. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî èñêàòü èíûå ôîðìóëèðîâêè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñõîäèìîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ, ò.å.  ìîæíî çàïèñàòü çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë òàê: äëÿ ëþáîãî  > 0 ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
		(23)
Â ýòîì ñîîòíîøåíèè â îòëè÷èå îò (21) ðå÷ü èäåò î ïîïàäàíèè ýìïèðè÷åñêîãî ñðåäíåãî = íå íåïîñðåäñòâåííî âíóòðü òåîðåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî E(x,f), à â íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü òåîðåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî.
Îáîáùèì ýòó ôîðìóëèðîâêó. Êàê çàäàòü îêðåñòíîñòü òåîðåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû? Åñòåñòâåííî âçÿòü åãî îêðåñòíîñòü, îïðåäåëåííóþ ñ ïîìîùüþ êàêîé-ëèáî ìåòðèêè. Îäíàêî ïîëåçíî îáåñïå÷èòü íà åå äîïîëíåíèè äî Õ îòäåëåííîñòü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé Ef(x(),y) êàê ôóíêöèè y îò ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè íà âñåì Õ.
	Ïîýòîìó ìû ñî÷ëè öåëåñîîáðàçíûì îïðåäåëèòü òàêóþ îêðåñòíîñòü ñ ïîìîùüþ ñàìîé ôóíêöèè Ef(x(),y).
	Îïðåäåëåíèå 3. Äëÿ ëþáîãî > 0 íàçîâåì  -ïÿòêîé ôóíêöèè g(x) ìíîæåñòâî

	Òàêèì îáðàçîì, â -ïÿòêó âõîäÿò âñå òå õ, äëÿ êîòîðûõ çíà÷åíèå g(x) ëèáî ìèíèìàëüíî, ëèáî îòëè÷àåòñÿ îò ìèíèìàëüíîãî (èëè îò èíôèìóìà) íå áîëåå ÷åì íà . Òàê, äëÿ X = R1 è ôóíêöèè g(x) = õ2 ìèíèìóì ðàâåí 0, à -ïÿòêà èìååò âèä èíòåðâàëà . Â ôîðìóëèðîâêå (23) êëàññè÷åñêîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè ëþáîì >0 âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî â -ïÿòêó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñòðåìèòñÿ ê 1. Ïîñêîëüêó > 0 ïðîèçâîëüíî, òî âìåñòî -ïÿòêè ìîæíî ãîâîðèòü î -ïÿòêå, ò.å. ïåðåéòè îò (23) ê ýêâèâàëåíòíîé çàïèñè
		(24)
Ñîîòíîøåíèå (24) äîïóñêàåò íåïîñðåäñòâåííîå îáîáùåíèå íà îáùèé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû.
	ÑÕÅÌÀ ÇÀÊÎÍÀ ÁÎËÜØÈÕ ×ÈÑÅË. Ïóñòü  - íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû Õ ñ ïîêàçàòåëåì ðàçëè÷èÿ f: X2R1. Ïóñòü âûïîëíåíû íåêîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêèå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè. Òîãäà äëÿ ëþáîãî > 0 ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
		(25)
	Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà è îáùàÿ èäåÿ óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Íèæå ïðèâåäåíû äâå êîíêðåòíûå ôîðìóëèðîâêè "óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè". 
Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë. Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ åñòåñòâåííîãî îáîáùåíèÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà - áèêîìïàêòíîãî ïðîñòðàíñòâà Õ.
	Òåîðåìà 3. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (25).
	Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîñòðîåííûì ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 êîíå÷íûì îòêðûòûì ïîêðûòèåì {Z1, Z2, ..., Zk} ïðîñòðàíñòâà Õ òàêèì, ÷òî äëÿ íåãî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (3). Ïîñòðîèì íà åãî îñíîâå ðàçáèåíèå Õ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà W1, W2, ..., Wm (îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ ðàçáèåíèÿ W1, W2, ..., Wm ñîñòàâëÿåò Õ). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü èòåðàòèâíî. Íà ïåðâîì øàãå èç Z1 ñëåäóåò âû÷åñòü Z2, ..., Zk - ýòî è áóäåò W1 . Çàòåì â êà÷åñòâå íîâîãî ïðîñòðàíñòâà íàäî ðàññìîòðåòü ðàçíîñòü Õ è W1 , à ïîêðûòèåì åãî áóäåò {Z2, ..., Zk} . È òàê äî k-ãî øàãà, êîãäà ïîñëåäíåå èç ðàññìîòðåííûõ ïîêðûòèé áóäåò ñîñòîÿòü èç åäèíñòâåííîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà Zk . Îñòàåòñÿ èç ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè W1, W2, ..., Wk âû÷åðêíóòü ïóñòûå ìíîæåñòâà, êîòîðûå ìîãëè áûòü ïîëó÷åíû ïðè îñóùåñòâëåíèè îïèñàííîé ïðîöåäóðû (ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, m ìîæåò áûòü ìåíüøå k). 
	Â êàæäîì èç ýëåìåíòîâ ðàçáèåíèÿ W1, W2, ..., Wm âûáåðåì ïî îäíîé òî÷êå, êîòîðûå íàçîâåì öåíòðàìè ðàçáèåíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷èì w1, w2, ..., wm. Ýòî è åñòü òî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, êîòîðûì ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü áèêîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî Õ. Ïóñòü y âõîäèò â Wj . Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (3) âûòåêàåò, ÷òî
		(26)
	Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ñîîòíîøåíèÿ (25). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå >0. Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ òî÷êó b èç E(x,f). Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò îñíîâàíî íà òîì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, äëÿ ëþáîãî y âíå  âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
		(27)
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà ðàññìîòðèì âñå ýëåìåíòû ðàçáèåíèÿ W1, W2, ..., Wm, èìåþùèå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ âíåøíîñòüþ -ïÿòêè . Èç íåðàâåíñòâà (26) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî y âíå  ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (27) íå ìåíüøå
		(28)
ãäå ìèíèìóì áåðåòñÿ ïî öåíòðàì âñåõ ýëåìåíòîâ ðàçáèåíèÿ, èìåþùèì íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ âíåøíîñòüþ -ïÿòêè. Âîçüìåì òåïåðü â êàæäîì òàêîì ðàçáèåíèè òî÷êó vi , ëåæàùóþ âíå   -ïÿòêè . Òîãäà èç íåðàâåíñòâ (3) è (28) ñëåäóåò, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (27) íå ìåíüøå
		(29)
	Â ñèëó çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí êàæäàÿ èç ó÷àñòâóþùèõ â ñîîòíîøåíèÿõ (27) è (29) ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ èìååò ñâîèìè ïðåäåëàìè ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, ïðè÷åì â ñîîòíîøåíèè (29) ýòè ïðåäåëû íå ìåíåå

ïîñêîëüêó òî÷êè vi  ëåæàò âíå -ïÿòêè . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

è äîñòàòî÷íî áîëüøîì n, îáåñïå÷èâàþùåì íåîáõîäèìóþ áëèçîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ê èõ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (27).
	Èç íåðàâåíñòâà (27) ñëåäóåò, ÷òî ïåðåñå÷åíèå En(f) ñ âíåøíîñòüþ  ïóñòî. Ïðè ýòîì òî÷êà b ìîæåò âõîäèòü â En(f), à ìîæåò è íå âõîäèòü. Âî âòîðîì ñëó÷àå En(f) ñîñòîèò èç èíûõ òî÷åê, âõîäÿùèõ â . Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. 
	Åñëè Õ íå ÿâëÿåòñÿ áèêîìïàêòíûì ïðîñòðàíñòâîì, òî íåîáõîäèìî ñóìåòü îöåíèòü ðàññìàòðèâàåìûå ñóììû "íà ïåðèôåðèè", âíå áèêîìïàêòíîãî ÿäðà, êîòîðîå îáû÷íî âûäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïóòåì. Îäèí èç âîçìîæíûõ êîìïëåêñîâ óñëîâèé ñôîðìóëèðîâàí âûøå â òåîðåìå 2.
	Òåîðåìà 4. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ñïðàâåäëèâ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ò.å. ñîîòíîøåíèå (25).
	Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â òåîðåìå 2 è ïðè åå äîêàçàòåëüñòâå. Ïóñòü r è R, r < R, - ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ðàññìîòðèì òî÷êó õ â øàðå K(r) è òî÷êó y âíå øàðà K(R). Ïîñêîëüêó

òî
		(30)
Ïîëîæèì

Ñðàâíèì  è . Âûáîðêó  ðàçîáüåì íà äâå ÷àñòè. Â ïåðâóþ ÷àñòü âêëþ÷èì òå ýëåìåíòû âûáîðêè, êîòîðûå âõîäÿò â K(r), âî âòîðóþ - âñå îñòàëüíûå (ò.å. ëåæàùèå âíå K(r) ). Ìíîæåñòâî èíäåêñîâ ýëåìåíòîâ ïåðâîé ÷àñòè îáîçíà÷èì I = I(n,r). Òîãäà â ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè f èìååì

à â ñèëó íåðàâåíñòâà (30) 

ãäå Card I(n,r) - ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå èíäåêñîâ I(n,r). Ñëåäîâàòåëüíî, 
		(31)
ãäå J = Card I(n,r) - áèíîìèàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà B(n,p) ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p = P{}. Ïî òåîðåìå Õèí÷èíà äëÿ  ñïðàâåäëèâ (êëàññè÷åñêèé) çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Ïóñòü . Âûáåðåì  òàê, ÷òîáû ïðè  áûëî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå 
		(32)
ãäå  Âûáåðåì r òàê, ÷òîáû âåðîÿòíîñòü óñïåõà p>0,6. Ïî òåîðåìå Áåðíóëëè ìîæíî âûáðàòü  òàê, ÷òîáû ïðè 
		(33)
Âûáåðåì R òàê, ÷òîáû

Òîãäà 
		(34)
è ñîãëàñíî (31), (32) è (33) ïðè  ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå  èìååì
		(35)
äëÿ ëþáîãî y âíå K(R). Èç (34) ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìèçèðîâàòü  äîñòàòî÷íî âíóòðè áèêîìïàêòíîãî øàðà K(R), ïðè ýòîì En(f) íå ïóñòî è
		(36)
ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 1-2.
	Ïóñòü  è  - ñóæåíèÿ  è g(x) = Ef(x(), x) ñîîòâåòñòâåííî íà K(R) êàê ôóíêöèé îò õ. Â ñèëó (34) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî  Ñîãëàñíî äîêàçàííîé âûøå òåîðåìå 3 íàéäåòñÿ  òàêîå, ÷òî 

Ñîãëàñíî (36) ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 

ïðè  Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè  èìååì

÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4. 
	Ñïðàâåäëèâû è èíûå âàðèàíòû çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë, ïîëó÷åííûå, â ÷àñòíîñòè, â ñòàòüå [27].
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé ýêñòðåìàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷. Åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü ïðèâåäåííûå âûøå ïîñòàíîâêè è ðåçóëüòàòû, îñîáåííî òåîðåìû 1 è 3, òî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé âîçìîæíîñòü èõ îáîáùåíèÿ. Òàê, äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿþòñÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f(x,y) îïðåäåëåíà íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè áèêîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ X è Y. Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåìåíòû âûáîðêè ëåæàò â Õ, à Y - ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ, ïîäëåæàùèõ îöåíêå. Ïóñòü, íàïðèìåð, âûáîðêà âçÿòà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ p(x,y). Åñëè ïîëîæèòü
f(x,y) = - ln p(x,y) ,
òî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ñðåäíåãî ïåðåõîäèò â çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà y ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, à çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë ïåðåõîäÿò â óòâåðæäåíèÿ î ñîñòîÿòåëüíîñòè ýòèõ îöåíîê â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâ X è Y îáùåãî âèäà. Â ñëó÷àå ôóíêöèè f(x,y) îáùåãî âèäà ìîæíî ãîâîðèòü îá îïðåäåëåíèè è ñîñòîÿòåëüíîñòè òàê íàçûâàåìûõ îöåíîê ìèíèìàëüíîãî êîíòðàñòà. ×àñòíûìè ñëó÷àÿìè ýòèõ îöåíîê ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, óñòîé÷èâûå (ðîáàñòíûå) îöåíêè Òüþêè-Õóáåðà (ñì. ãëàâó 10 íèæå), îöåíêè ïàðàìåòðîâ â çàäà÷àõ àïïðîêñèìàöèè (ïàðàìåòðè÷åñêîé ðåãðåññèè) â ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû. 
	Ìîæíî ïîéòè è äàëüøå â îáîáùåíèè çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî ïðè êàæäîì êîíêðåòíîì y ïðè áåçãðàíè÷íîì ðîñòå n èìååò áûòü ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè
fn(x(), y )f(y).
Â êàêèõ ñëó÷àÿõ è â êàêîì ñìûñëå 
Argmin {fn(x(), y ), yX}Argmin { f(y), y X} ? 
Ïðè÷åì çäåñü ìîæíî ïîä n ïîíèìàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî. À ìîæíî ðàññìàòðèâàòü "ñõîäèìîñòü ïî ôèëüòðó" â ñìûñëå Êàðòàíà è Áóðáàêè [29, ñ.118]. Â ÷àñòíîñòè, îïèñûâàòü ñèòóàöèþ âåêòîðîì, êîîðäèíàòû êîòîðîãî - îáúåìû íåñêîëüêèõ âûáîðîê, è âñå îíè áåçãðàíè÷íî ðàñòóò. Â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå òàêèå ïîñòàíîâêè ðàññìàòðèâàòü íå ëþáÿò.
Ïîñêîëüêó, êàê óæå îòìå÷àëîñü, îñíîâíûå çàäà÷è ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, òî îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äàåò âîçìîæíîñòü åäèíîîáðàçíîãî ïîäõîäà ê èçó÷åíèþ àñèìïòîòèêè ðåøåíèé ðàçíîîáðàçíûõ ýêñòðåìàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷. Îäíà èç âîçìîæíûõ ôîðìóëèðîâîê äàíà è îáîñíîâàíà âûøå. Äðóãàÿ - â ðàáîòå [28]. Îíà îñíîâàíà íà èñïîëüçîâàíèè ïîíÿòèé àñèìïòîòè÷åñêîé ðàâíîìåðíîé ðàçáèâàåìîñòè è êîîðäèíàòíîé àñèìïòîòè÷åñêîé ðàâíîìåðíîé ðàçáèâàåìîñòè. Ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ ïîäõîäîâ óäàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îáîñíîâûâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ â îñíîâíûõ çàäà÷àõ ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè. Ê ñîæàëåíèþ, â ðàìêàõ íàñòîÿùåé ãëàâû íåò âîçìîæíîñòè ïîäðîáíåå îñòàíîâèòüñÿ íà ïðîáëåìå îöåíèâàíèÿ.
	Ðàññìàòðèâàåìóþ òåìàòèêó ìîæíî ðàçâèâàòü äàëüøå, â ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâà X è Y, íå ÿâëÿþùèåñÿ áèêîìïàêòíûìè, à òàêæå èçó÷àòü ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ ê òåîðåòè÷åñêèì.
Ìåäèàíà Êåìåíè è ýêñïåðòíûå îöåíêè. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû - ïðîñòðàíñòâî áèíàðíûõ îòíîøåíèé íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå è åãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Êàê èçâåñòíî, êàæäîå áèíàðíîå îòíîøåíèå À ìîæíî îïèñàòü ìàòðèöåé ||a(i,j)|| èç 0 è 1, ïðè÷åì a(i,j) = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà qi è qj íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè À, è a(i,j) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. 
	Îïðåäåëåíèå 4. Ðàññòîÿíèåì Êåìåíè ìåæäó áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè À è Â, îïèñûâàåìûìè ìàòðèöàìè ||a(i,j)|| è ||b(i,j)|| ñîîòâåòñòâåííî, íàçûâàåòñÿ

	Çàìå÷àíèå. Èíîãäà â îïðåäåëåíèå ðàññòîÿíèÿ Êåìåíè ââîäÿò ìíîæèòåëü, çàâèñÿùèé îò k.
	Êàê óæå îòìå÷àëîñü, óêàçàííîå ðàññòîÿíèå ââåäåíî àìåðèêàíñêèì èññëåäîâàòåëåì Äæ. Êåìåíè â 1950-õ ãîäàõ è ïîëó÷èëî â íàøåé ñòðàíå èçâåñòíîñòü áëàãîäàðÿ ìîíîãðàôèè [24], â êîòîðîé îíî ïîëó÷åíî äëÿ óïîðÿäî÷åíèé (ò.å. ðàíæèðîâîê, â êîòîðûõ äîïóñêàþòñÿ ñâÿçè, èëè êëàñòåðèçîâàííûõ ðàíæèðîâîê - ñì. ãëàâó 12) èñõîäÿ èç íåêîòîðîé ñèñòåìû àêñèîì. Íåêîòîðîå âðåìÿ êàçàëîñü, ÷òî àêñèîìàòè÷åñêèé ïîäõîä èçáàâëÿåò îò ñóáúåêòèâèçìà â âûáîðå ðàññòîÿíèÿ, à ïîòîìó - îò ñóáúåêòèâèçìà â âûáîðå ñïîñîáà óñðåäíåíèÿ áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Ìîíîãðàôèÿ [24] ïîðîäèëà ïîòîê ðàáîò, â êîòîðûõ ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì àêñèîì ââîäèëèñü òå èëè èíûå ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû (â îáçîðå [23] íà ýòó òåìó - 161 ññûëêà íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïóáëèêàöèè). Â èòîãå ïðîèçâîë â âûáîðå ìåòðèê îòîäâèíóò íà óðîâåíü ïðîèçâîëà â âûáîðå ñèñòåì àêñèîì.
	Îïðåäåëåíèå 5. Ìåäèàíîé Êåìåíè äëÿ âûáîðêè, ñîñòîÿùåé èç áèíàðíûõ îòíîøåíèé, íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå, ïîñòðîåííîå ñ ïîìîùüþ ðàññòîÿíèÿ Êåìåíè.
	Ïîñêîëüêó ÷èñëî áèíàðíûõ îòíîøåíèé íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå êîíå÷íî, òî ýìïèðè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå ñðåäíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîêàçàòåëåé ðàçëè÷èÿ ñóùåñòâóþò è ñïðàâåäëèâû çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë, îïèñàííûå ôîðìóëàìè (21) è (22) âûøå. 
	Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, óïîðÿäî÷åíèÿ, ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ìíåíèé ýêñïåðòîâ. Òîãäà ðàññòîÿíèå Êåìåíè èçìåðÿåò áëèçîñòü ìíåíèé ýêñïåðòîâ, à ìåäèàíà Êåìåíè ïîçâîëÿåò íàõîäèòü èòîãîâîå óñðåäíåííîå ìíåíèå êîìèññèè ýêñïåðòîâ. Ðàñ÷åò ìåäèàíû Êåìåíè îáû÷íî âêëþ÷àþò â èíôîðìàöèîííîå îáåñïå÷åíèå ñèñòåì ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíîê ýêñïåðòîâ. Ðå÷ü èäåò, íàïðèìåð, î ìàòåìàòè÷åñêîì îáåñïå÷åíèè àâòîìàòèçèðîâàííîãî ðàáî÷åãî ìåñòà "Ìàòåìàòèêà â ýêñïåðòèçå" (ÀÐÌ "ÌÀÒÝÊ"), ïðåäíàçíà÷åííîãî, â ÷àñòíîñòè, äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè ýêñïåðòèç â çàäà÷àõ ýêîëîãè÷åñêîãî ñòðàõîâàíèÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ÷èñëåííîå èçó÷åíèå ñâîéñòâ ìåäèàíû Êåìåíè ïðè êîíå÷íîì îáúåìå âûáîðêè. Òàêîå èçó÷åíèå äîïîëíÿåò îïèñàííóþ âûøå àñèìïòîòè÷åñêóþ òåîðèþ, â êîòîðîé îáúåì âûáîðêè ïðåäïîëàãàåòñÿ áåçãðàíè÷íî âîçðàñòàþùèì ().
Êîìïüþòåðíîå èçó÷åíèå ñâîéñòâ ìåäèàíû Êåìåíè ïðè êîíå÷íûõ îáúåìàõ âûáîðîê. Ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîé ïðîãðàììíîé ñèñòåìû Â.Í. Æèõàðåâûì áûë ïðîâåäåí ðÿä ñåðèé ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî èçó÷åíèþ ñâîéñòâ âûáîðî÷íûõ ìåäèàí Êåìåíè. Ïðåäñòàâëåíèå î ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòàõ äàåòñÿ ïðèâîäèìîé íèæå òàáë.1, âçÿòîé èç ñòàòüè [30]. Â êàæäîé ñåðèè ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêèõ èñïûòàíèé îïðåäåëåííîå ÷èñëî ðàç ìîäåëèðîâàëñÿ ñëó÷àéíûé è íåçàâèñèìûé âûáîð ýêñïåðòíûõ ðàíæèðîâîê, à çàòåì íàõîäèëèñü âñå ìåäèàíû Êåìåíè äëÿ ñìîäåëèðîâàííîãî íàáîðà ìíåíèé ýêñïåðòîâ. Ïðè ýòîì â ñåðèÿõ 1-5 ðàñïðåäåëåíèå îòâåòà ýêñïåðòà ïðåäïîëàãàëîñü ðàâíîìåðíûì íà ìíîæåñòâå âñåõ ðàíæèðîâîê, à â ñåðèè 6 ýòî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿëîñü ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî ðàññòîÿíèÿ Êåìåíè ñ íåêîòîðûì öåíòðîì (î ïîíÿòèè ìîíîòîííîñòè ñì. âûøå), ò.å. âåðîÿòíîñòü âûáîðà îïðåäåëåííîé ðàíæèðîâêè óáûâàëà ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ Êåìåíè ýòîé ðàíæèðîâêè îò öåíòðà. Òàêèì îáðàçîì, ñåðèè 1-5 ñîîòâåòñòâóþò ñèòóàöèè, êîãäà ó ýêñïåðòîâ íåò ïî÷âû äëÿ ñîãëàñèÿ, íåò ãðóïïèðîâêè èõ ìíåíèé îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî åäèíîãî ñðåäíåãî ãðóïïîâîãî ìíåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê â ñåðèè 6 åñòü åäèíîå ìíåíèå - îïèñàííûé âûøå öåíòð, ê êîòîðîìó òÿãîòåþò îòâåòû ýêñïåðòîâ. 
	Ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáë.1, ìîæíî êîììåíòèðîâàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Íåîæèäàííûì ÿâèëîñü áîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ â âûáîðî÷íîé ìåäèàíå Êåìåíè - êàê ñðåäíåå, òàê è îñîáåííî ìàêñèìàëüíîå. Îäíîâðåìåííî îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå óáûâàíèå ýòèõ ÷èñåë ïðè ðîñòå ÷èñëà ýêñïåðòîâ è îñîáåííî ïðè ïåðåõîäå ê ñèòóàöèè ðåàëüíîãî ñóùåñòâîâàíèÿ ãðóïïîâîãî ìíåíèÿ (ñåðèÿ 6). Äîñòàòî÷íî ÷àñòî îäèí èç îòâåòîâ ýêñïåðòîâ âõîäèò â ìåäèàíó Êåìåíè (ò.å. ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà îòâåòîâ ýêñïåðòîâ è ìåäèàíû Êåìåíè íåïóñòî), à äèàìåòð ìåäèàíû êàê ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå ðàíæèðîâîê çàìåòíî ìåíüøå äèàìåòðà ìíîæåñòâà îòâåòîâ ýêñïåðòîâ. Ïî ýòèì ïîêàçàòåëÿì - íàèëó÷øåå ïîëîæåíèå â ñåðèè 6. Ãðóáî ãîâîðÿ, âñÿ÷åñêèå "ïàòîëîãèè" â ïîâåäåíèè ìåäèàíû Êåìåíè íàèáîëåå ðåçêî ïðîÿâëÿþòñÿ â ñèòóàöèè, êîãäà åå ïðèìåíåíèå íå èìååò ñîäåðæàòåëüíîãî îáîñíîâàíèÿ, ò.å. êîãäà ó ýêñïåðòîâ íåò îñíîâû äëÿ ñîãëàñèÿ, èõ îòâåòû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâå ðàíæèðîâîê.
	Óâåëè÷åíèå ÷èñëà èñïûòàíèé â 10 ðàç ïðè ïåðåõîäå îò ñåðèè 1 ê ñåðèè 5 íå î÷åíü ñèëüíî ïîâëèÿëî íà ïðèâåäåííûå â òàáëèöå õàðàêòåðèñòèêè, ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî ñóòü äåëà âûÿâëÿåòñÿ ïðè ÷èñëå èñïûòàíèé (â ìåòîäå Ìîíòå-Êàðëî), ðàâíîì 100 èëè äàæå 50. Óâåëè÷åíèå ÷èñëà îáúåêòîâ èëè ýêñïåðòîâ óâåëè÷èâàåò ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ðàññìàòðèâàåìîì ïðîñòðàíñòâå ðàíæèðîâîê, à ïîòîìó óìåíüøàåòñÿ ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ êàêîãî-ëèáî èç ìíåíèé ýêñïåðòîâ âíóòðü ìåäèàíû Êåìåíè, à òàêæå îòíîøåíèå äèàìåòðà ìåäèàíû ê äèàìåòðó ìíîæåñòâà ýêñïåðòîâ, ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìåäèàíû Êåìåíè (ñðåäíåå è ìàêñèìàëüíîå). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî óâåëè÷åíèå ÷èñëà îáúåêòîâ èëè ýêñïåðòîâ óìåíüøàåò ñòåïåíü äèñêðåòíîñòè çàäà÷è, ïðèáëèæàåò åå ê íåïðåðûâíîìó ñëó÷àþ, à ïîòîìó óìåíüøàåò âûðàæåííîñòü ðàçëè÷íûõ "ïàòîëîãèé".
	Åñòü ìíîãî èíòåðåñíûõ ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå ìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàåì. Îíè ñâÿçàííû, â ÷àñòíîñòè, ñî ñðàâíåíèåì ìåäèàíû Êåìåíè ñ äðóãèìè ìåòîäàìè óñðåäíåíèÿ ìíåíèé ýêñïåðòîâ, íàïðèìåð, ñ íàõîæäåíèåì èòîãîâîãî óïîðÿäî÷åíèÿ ïî ìåòîäó ñðåäíèõ ðàíãîâ, à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàëûõ îêðåñòíîñòåé îòâåòîâ ýêñïåðòîâ äëÿ ïîèñêà âõîäÿùèõ â ìåäèàíó ðàíæèðîâîê, ñ òåîðåòè÷åñêîé è ÷èñëåííîé îöåíêîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â çàêîíàõ áîëüøèõ ÷èñåë. 

Òàáë.1. Âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèþ ñâîéñòâ ìåäèàíû Êåìåíè
Íîìåð ñåðèè	1	2	3	4	5	6	
×èñëî èñïûòàíèé	100	1000	50	50	1000	1000	
Êîëè÷åñòâî îáúåêòîâ	5	5	7	7	5	5	
Êîëè÷åñòâî ýêñïåðòîâ	10	30	10	30	10	10	
×àñòîòà íåïóñòîãî ïåðåñå÷åíèÿ	0,85	0,58	0,52	0,2	0,786	0,911	
Ñðåäíåå îòíîøåíèå äèàìåòðîâ	0.283	0,124	0,191	0,0892	0,202	0.0437	
Ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü ìåäèàíû	5,04	2,41	6,4	2,88	3,51	1,35	
Ìàêñèìàëüíàÿ. ìîùíîñòü ìåäèàíû	30	14	19	11	40	12	

8.5. Íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè â ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû

	Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñòàòèñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû îñíîâàí íå íà ñâîéñòâå ëèíåéíîñòè ïðîñòðàíñòâà è èñïîëüçîâàíèè ðàçíîîáðàçíûõ ñóìì ýëåìåíòîâ âûáîðîê è ôóíêöèé îò íèõ, êàê â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, à íà ïðèìåíåíèè ïîêàçàòåëåé ðàçëè÷èÿ, ìåð áëèçîñòè, ìåòðèê, ïîýòîìó ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêîãî. Â ñòàòèñòèêå íå÷èñëîâûõ äàííûõ âûäåëÿþò îáùóþ òåîðèþ è ñòàòèñòèêó â êîíêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû (íàïðèìåð, ñòàòèñòèêó ðàíæèðîâîê). Â îáùåé òåîðèè åñòü äâà îñíîâíûõ ñþæåòà. Îäèí ñâÿçàí ñî ñðåäíèìè âåëè÷èíàìè è àñèìïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì ðåøåíèé ýêñòðåìàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷, âòîðîé - ñ íåïàðàìåòðè÷åñêèìè îöåíêàìè ïëîòíîñòè. Ïåðâûé ñþæåò òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåí, âòîðîìó ïîñâÿùåíà çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü íàñòîÿùåé ãëàâû.
	Ïîíÿòèå ïëîòíîñòè â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû Õ òðåáóåò ñïåöèàëüíîãî îáñóæäåíèÿ. Â ïðîñòðàíñòâå Õ äîëæíà áûòü âûäåëåíà íåêîòîðàÿ ñïåöèàëüíàÿ ìåðà , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïëîòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå äðóãèì ìåðàì, íàïðèìåð, ìåðå , çàäàþùåé ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà . Â òàêîì ñëó÷àå (À) = Ð(À) äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ À. Ïëîòíîñòü f(x), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåðå  - ýòî òàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî 

äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ À. Äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåêòîðîâ ìåðà  - ýòî îáúåì ìíîæåñòâà À, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíàõ - ìåðà Ëåáåãà. Äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ýëåìåíòîâ ñî çíà÷åíèÿìè â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Õ â êà÷åñòâå ìåðû  åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñ÷èòàþùóþ ìåðó, êîòîðàÿ ñîáûòèþ À ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî åãî ýëåìåíòîâ. Èñïîëüçóþò òàêæå íîðìèðîâàííóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó, êîãäà ÷èñëî òî÷åê â ìíîæåñòâå À äåëÿò íà ÷èñëî òî÷åê âî âñåì ïðîñòðàíñòâå Õ. Â ñëó÷àå ñ÷èòàþùåé ìåðû çíà÷åíèå ïëîòíîñòè â òî÷êå õ ñîâïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ ïîïàñòü â òî÷êó õ, ò.å. f(x) = Ð(ξ = õ). Òàêèì îáðàçîì, ñ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè çðåíèÿ ñòèðàåòñÿ ãðàíü ìåæäó ïîíÿòèÿìè «ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè» è «âåðîÿòíîñòü (ïîïàñòü â òî÷êó)».
	Êàê ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû? Íàïðèìåð, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè (äèàãíîñòèêè, ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ - ñì. ãëàâó 5). Çíàÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êëàññîâ, ìîæíî ðåøàòü îñíîâíûå çàäà÷è äèàãíîñòèêè - êàê çàäà÷è âûäåëåíèÿ êëàñòåðîâ, òàê è çàäà÷è îòíåñåíèÿ âíîâü ïîñòóïàþùåãî îáúåêòà ê îäíîìó èç äèàãíîñòè÷åñêèõ êëàññîâ. Â çàäà÷àõ êëàñòåð-àíàëèçà ìîæíî íàõîäèòü ìîäû ïëîòíîñòè è ïðèíèìàòü èõ çà öåíòðû êëàñòåðîâ èëè çà íà÷àëüíûå òî÷êè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ òèïà k-ñðåäíèõ èëè äèíàìè÷åñêèõ ñãóùåíèé. Â çàäà÷àõ ñîáñòâåííî äèàãíîñòèêè (äèñêðèìèíàöèè, ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ ñ ó÷èòåëåì) ìîæíî ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ î äèàãíîñòèêå îáúåêòîâ íà îñíîâå îòíîøåíèÿ ïëîòíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññàì. Ïðè íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòÿõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì èñïîëüçîâàòü èõ ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè. 
	Ìåòîäû îöåíèâàíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè â ïðîñòðàíñòâàõ îáùåãî âèäà ïðåäëîæåíû è ïåðâîíà÷àëüíî èçó÷åíû â ðàáîòå [31]. Â ÷àñòíîñòè, â çàäà÷àõ äèàãíîñòèêè îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû ïðåäëàãàåì èñïîëüçîâàòü íåïàðàìåòðè÷åñêèå ÿäåðíûå îöåíêè ïëîòíîñòè òèïà Ïàðçåíà - Ðîçåíáëàòòà (ýòîò âèä îöåíîê è åãî íàçâàíèå âïåðâûå áûëè ââåäåíû â ñòàòüå [31] ). Îíè èìåþò âèä:

 ãäå Ê:  - òàê íàçûâàåìàÿ ÿäåðíàÿ ôóíêöèÿ, x1, x2, …, xn  X  - âûáîðêà, ïî êîòîðîé îöåíèâàåòñÿ ïëîòíîñòü, d(xi , x) - ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ (ìåòðèêà, ðàññòîÿíèå, ìåðà áëèçîñòè) ìåæäó ýëåìåíòîì âûáîðêè xi  è òî÷êîé x, â êîòîðîé îöåíèâàåòñÿ ïëîòíîñòü, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü hn  ïîêàçàòåëåé ðàçìûòîñòè òàêîâà, ÷òî hn 0 è nhn ïðè , à  - íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü, îáåñïå÷èâàþùèé âûïîëíåíèå óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (èíòåãðàë ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó îò íåïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêè ïëîòíîñòè fn(x) ïî ìåðå  äîëæåí ðàâíÿòüñÿ 1). Ðàíåå àìåðèêàíñêèå èññëåäîâàòåëè Ïàðçåí è Ðîçåíáëàòò èñïîëüçîâàëè ïîäîáíûå ñòàòèñòèêè â ñëó÷àå  ñ d(xi , x) = |xi  - x|.
	Ââåäåííûå îïèñàííûì îáðàçîì ÿäåðíûå îöåíêè ïëîòíîñòè - ÷àñòíûé ñëó÷àé òàê íàçûâàåìûõ ëèíåéíûõ îöåíîê, òàêæå âïåðâûå ïðåäëîæåííûõ â ðàáîòå [31]. Â òåîðåòè÷åñêîì ïëàíå îíè âûäåëÿþòñÿ òåì, ÷òî óäàåòñÿ ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû òàêîãî æå òèïà, ÷òî â êëàññè÷åñêîì îäíîìåðíîì ñëó÷àå, íî, ðàçóìååòñÿ, ñ ïîìîùüþ ñîâñåì èíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.
	Ñâîéñòâà íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ÿäåðíûõ îöåíîê ïëîòíîñòè. Ðàññìîòðèì âûáîðêó ñî çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîãî âèäà. Â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ïðåäïîëàãàþòñÿ çàäàííûìè ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ d è ìåðà . Îäíà èç îñíîâíûõ èäåé ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñîãëàñîâàòü èõ ìåæäó ñîáîé. À èìåííî, íà èõ îñíîâå ïîñòðîèì íîâûé ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ d1 , òàê íàçûâàåìûé "åñòåñòâåííûé", â òåðìèíàõ êîòîðîãî ïðîùå ôîðìóëèðóþòñÿ ñâîéñòâà íåïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêè ïëîòíîñòè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì øàðû  ðàäèóñà t>0 è èõ ìåðû Fx(t) = (Lt(x)). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Fx(t) êàê ôóíêöèÿ t ïðè ôèêñèðîâàííîì x íåïðåðûâíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò. Ââåäåì ôóíêöèþ d1(x,y)= Fx(d(x,y)). Ýòî - ìîíîòîííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ èëè ðàññòîÿíèÿ, à ïîòîìó d1(x,y) - òàêæå ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ (äàæå åñëè d - ìåòðèêà, äëÿ d1 íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü íå âûïîëíåíî). Äðóãèìè ñëîâàìè, d1(x,y), êàê è d(x,y), ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëü ðàçëè÷èÿ (ìåðó áëèçîñòè) ìåæäó x è y. 
	Äëÿ âíîâü ââåäåííîãî ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ d1(x,y) ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå øàðû . Ïîñêîëüêó îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ  F -1x(t) îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, òî , ãäå T =   F -1x(t). Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà öåïî÷êà ðàâåíñòâ F1x(t) = (L1t(x)) = (LT(x)) = Fx(F -1x(t)) = t. 
 	Ïåðåõîä îò d ê d1 íàïîìèíàåò êëàññè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, èñïîëüçîâàííîå Í.Â. Ñìèðíîâûì ïðè èçó÷åíèè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ è îäíîðîäíîñòè, à èìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå , ïåðåâîäÿùåå ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó  ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) â ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå [0,1]. Îáà ðàññìàòðèâàåìûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâåííî óïðîùàþò äàëüíåéøèå ðàññìîòðåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå d1= Fx(d) çàâèñèò îò òî÷êè x, ÷òî íå âëèÿåò íà äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ, ïîñêîëüêó îãðàíè÷èâàåìñÿ èçó÷åíèåì ñõîäèìîñòè â îòäåëüíî âçÿòîé òî÷êå.
	Ôóíêöèþ d1(x,y), äëÿ êîòîðîé ìåðà øàðà ðàäèóñà t ðàâíà t, íàçûâàåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàáîòîé [31] «åñòåñòâåííûì ïîêàçàòåëåì ðàçëè÷èÿ» èëè «åñòåñòâåííîé ìåòðèêîé». Â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Rk è åâêëèäîâîé ìåòðèêè d èìååì d1(x,y) = ck d k (x,y), ãäå ck  - îáúåì øàðà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà â Rk .
	Ïîñêîëüêó ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî 
,
ãäå 
,
 òî ïåðåõîä îò îäíîãî ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ ê äðóãîìó, ò.å. îò d ê d1 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó îò îäíîé ÿäåðíîé ôóíêöèè ê äðóãîé, ò.å. îò K ê K1. Âûãîäà îò òàêîãî ïåðåõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óòâåðæäåíèÿ î ïîâåäåíèè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê ïëîòíîñòè ïðèîáðåòàþò áîëåå ïðîñòóþ ôîðìóëèðîâêó.
	Òåîðåìà 5. Ïóñòü d - åñòåñòâåííàÿ ìåòðèêà, ïëîòíîñòü f  íåïðåðûâíà â òî÷êå x è îãðàíè÷åíà íà âñåì ïðîñòðàíñòâå X , ïðè÷åì f(x)>0, ÿäåðíàÿ ôóíêöèÿ K(u) óäîâëåòâîðÿåò ïðîñòûì óñëîâèÿì ðåãóëÿðíîñòè
.
Òîãäà n(hn ,x) = nhn , îöåíêà fn(x)  ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, ò.å.  fn(x) f(x) ïî âåðîÿòíîñòè ïðè n è, êðîìå òîãî,

	Òåîðåìà 5 äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäàìè, ðàçâèòûìè â ðàáîòå [31]. Îäíàêî îñòàåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñ î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ÿäåðíûõ îöåíîê, â ÷àñòíîñòè, î ïîâåäåíèè âåëè÷èíû n = M(fn(x)-f(x))2 - ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè,  è îá îïòèìàëüíîì âûáîðå ïîêàçàòåëåé ðàçìûòîñòè hn . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäâèíóòüñÿ â ðåøåíèè ýòîãî âîïðîñà, ââåäåì íîâûå ïîíÿòèÿ. Äëÿ ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà X() ñî çíà÷åíèÿìè â X ðàññìîòðèì ò.í. êðóãîâîå ðàñïðåäåëåíèå G(x,t) = P{d(X(), x)<t}  è êðóãîâóþ ïëîòíîñòü g(x,t)= G't(x,t).
	Òåîðåìà 6. Ïóñòü ÿäåðíàÿ ôóíêöèÿ K(u) íåïðåðûâíà è ôèíèòíà, ò.å. ñóùåñòâóåò ÷èñëî E òàêîå, ÷òî K(u)=0 ïðè u>E. Ïóñòü êðóãîâàÿ ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé, ò.å. äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå

ïðè íåêîòîðîì k, ïðè÷åì îñòàòî÷íûé ÷ëåí ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åí íà [0,hE]. Ïóñòü

Òîãäà

	Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6 ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ  ðàçðàáîòàííîé â ñòàòèñòèêå îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêîé òåõíèêè, îáðàçöû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [31]. Åñëè êîýôôèöèåíòû ïðè îñíîâíûõ ÷ëåíàõ â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåé ôîðìóëû íå ðàâíû 0, òî âåëè÷èíà n äîñòèãàåò ìèíèìóìà, ðàâíîãî ïðè  Ýòè âûâîäû ñîâïàäàþò ñ êëàññè÷åñêèìè ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå ðÿäîì àâòîðîâ äëÿ âåñüìà  ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ïðÿìîé X = R1 (ñì., íàïðèìåð, ìîíîãðàôèþ [32, ñ.316]). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óìåíüøåíèÿ ñìåùåíèÿ îöåíêè ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü çíàêîïåðåìåííûå ÿäðà K(u).
	Íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè â êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ åñòåñòâåííûõ ìåòðèê íå ñóùåñòâóåò. Îäíàêî ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè òåîðåì 5 è 6, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó íå òîëüêî ïî îáúåìó âûáîðêè n, íî è ïî íîâîìó ïàðàìåòðó äèñêðåòíîñòè m.
	Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Xm , m = 1,2,…- êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü â Xm çàäàíû ïîêàçàòåëè ðàçëè÷èÿ dm . Áóäåì èñïîëüçîâàòü íîðìèðîâàííûå ñ÷èòàþùèå ìåðû  ñòàâÿùèå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó À äîëþ ýëåìåíòîâ âñåãî ïðîñòðàíñòâà Xm , âõîäÿùèõ â À. Êàê è ðàíåå, ðàññìîòðèì êàê ôóíêöèþ t îáúåì øàðà ðàäèóñà t, ò.å. Ââåäåì àíàëîã åñòåñòâåííîãî ïîêàçàòåëÿ ðàçëè÷èÿ  Íàêîíåö, ðàññìîòðèì àíàëîãè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ñìèðíîâà  Ôóíêöèè , â îòëè÷èå îò ñèòóàöèè ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, óæå íå ñîâïàäàþò òîæäåñòâåííî ñ t, îíè êóñî÷íî-ïîñòîÿííû è èìåþò ñêà÷êè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ti , i =1,2,…, ïðè÷åì â ýòèõ òî÷êàõ 
	Òåîðåìà 7. Ïóñòü òî÷êè ñêà÷êîâ ðàâíîìåðíî ñáëèæàþòñÿ, ò.å.   ïðè  (äðóãèìè ñëîâàìè,-t| ïðè ). Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðàìåòðîâ äèñêðåòíîñòè mn òàêàÿ, ÷òî ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå  ñïðàâåäëèâû çàêëþ÷åíèÿ òåîðåì 5 è 6.
 	Ïðèìåð 1. Ïðîñòðàíñòâî  âñåõ ïîäìíîæåñòâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà  èç m ýëåìåíòîâ äîïóñêàåò (ñì. ìîíîãðàôèþ [3]) àêñèîìàòè÷åñêîå ââåäåíèå ìåòðèêè  ãäå  - ñèìâîë ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì íåïàðàìåòðè÷åñêóþ ÿäåðíóþ îöåíêó ïëîòíîñòè òèïà Ïàðçåíà - Ðîçåíáëàòòà 

ãäå  - ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ñòàíäàðòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà îöåíêà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 7 ñ 
	Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé  îïðåäåëåííûõ íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå , ñî çíà÷åíèÿìè â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå . Ýòî ïðîñòðàíñòâî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðîñòðàíñòâî íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (ñì. î íå÷åòêèõ ìíîæåñòâàõ, íàïàðèìåð, ìîíîãðàôèè [3,10]), à èìåííî, Yr - íîñèòåëü íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà, à Zq - ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè. Î÷åâèäíî, ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Xm ðàâíî (q+1)r . Áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàññòîÿíèå  Íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ îöåíêà ïëîòíîñòè èìååò âèä:

Åñëè , òî ïðè > âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 7, à ïîòîìó ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 5 è 6.
	Ïðèìåð 3. Ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâà ðàíæèðîâîê m îáúåêòîâ, â êà÷åñòâå ðàññòîÿíèÿ d(A,B) ìåæäó ðàíæèðîâêàìè A è B ïðèìåì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî èíâåðñèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïåðåõîäà îò A ê B. Òîãäà max(ti -ti-1)  íå ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè , óñëîâèÿ òåîðåìû 7 íå âûïîëíåíû.
	Ïðèìåð 4. Â ïðèêëàäíûõ ðàáîòàõ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé ïðèìåð îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû – âåêòîð ðàçíîòèïíûõ äàííûõ: ðåàëüíûé îáúåêò îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì, ÷àñòü êîîðäèíàò êîòîðîãî - çíà÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ, à ÷àñòü - êà÷åñòâåííûõ (íîìèíàëüíûõ è ïîðÿäêîâûõ). Äëÿ ïðîñòðàíñòâ ðàçíîòèïíûõ ïðèçíàêîâ, ò.å. äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé íåïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ, âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ïîñòàíîâêè. Ïóñòü, íàïðèìåð, ÷èñëî ãðàäàöèé êà÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Òîãäà íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ îöåíêà ïëîòíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîèçâåäåíèþ ÷àñòîòû ïîïàäàíèÿ â òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå êà÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ íà êëàññè÷åñêóþ îöåíêó Ïàðçåíà-Ðîçåíáëàòòà â ïðîñòðàíñòâå êîëè÷åñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Â îáùåì ñëó÷àå ðàññòîÿíèå d(x,y) ìîæíî, íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàòü êàê ñóììó òðåõ ðàññòîÿíèé. À èìåííî, åâêëèäîâà ðàññòîÿíèÿ d1 ìåæäó êîëè÷åñòâåííûìè ôàêòîðàìè, ðàññòîÿíèÿ d2 ìåæäó íîìèíàëüíûìè ïðèçíàêàìè (d2(x,y) = 0, åñëè x = y, è d2(x,y) = 1, åñëè ) è ðàññòîÿíèÿ d3 ìåæäó ïîðÿäêîâûìè ïåðåìåííûìè (åñëè x è y - íîìåðà ãðàäàöèé, òî d3(x,y) = |x - y|). Íàëè÷èå êîëè÷åñòâåííûõ ôàêòîðîâ ïðèâîäèò ê íåïðåðûâíîñòè è ñòðîãîìó âîçðàñòàíèþ ôóíêöèè Fmx(t), à ïîòîìó äëÿ íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê ïëîòíîñòè â ïðîñòðàíñòâàõ ðàçíîòèïíûõ ïðèçíàêîâ âåðíû òåîðåìû 5 - 6.
	Ñòàòèñòèêà îáúåêòîâ íå÷èñëîâîé ïðèðîäû êàê ÷àñòü ýêîíîìåòðèêè ïðîäîëæàåò áóðíî ðàçâèâàòüñÿ. Óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî åå ïðàêòè÷åñêè ïîëåçíûõ ïðèìåíåíèé ïðè àíàëèçå êîíêðåòíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ äàííûõ - â ìàðêåòèíãîâûõ èññëåäîâàíèÿõ, êîíòðîëëèíãå, ïðè óïðàâëåíèè ïðåäïðèÿòèåì è äð.

Öèòèðîâàííàÿ ëèòåðàòóðà

1. Øóáêèí Â.Ï. Ñîöèîëîãè÷åñêèå îïûòû. - Ì.: Ìûñëü,1970.-256 ñ.
2. Ùóêèíà Ã.È. Ïðîáëåìà ïîçíàâàòåëüíîãî èíòåðåñà â ïåäàãîãèêå. - Ì.: Ïåäàãîãèêà, 1971.-352 ñ.
3. Îðëîâ À.È. Óñòîé÷èâîñòü â ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. - Ì.: Íàóêà,1979.-296 ñ.
4. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы (Обзор). – Журнал «Заводская лаборатория». 1990. Т.56. No.3. С.76-83.
5. Орлов А.И. Объекты нечисловой природы. – Журнал «Заводская лаборатория». 1995. Т.61. No.3. С.43-52.
6. Êåíäýë Ì. Ðàíãîâûå êîððåëÿöèè. - Ì.:Ñòàòèñòèêà,1975. - 216 ñ. 
7. Áåëÿåâ Þ.Ê. Âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû âûáîðî÷íîãî êîíòðîëÿ. - Ì.: Íàóêà, 1975. - 408 ñ.
8. Ëóìåëüñêèé ß.Ï. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ðåçóëüòàòîâ êîíòðîëÿ êà÷åñòâà. - Ì.: Èçä-âî ñòàíäàðòîâ, 1979. - 200 ñ.  
9. Äýâèä Ã. Ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé. - Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1978.- 144 ñ.
10. Îðëîâ À.È. Çàäà÷è îïòèìèçàöèè è íå÷åòêèå ïåðåìåííûå. - Ì.: Çíàíèå, 1980. - 64ñ. 
10. Êåíäàëë Ì.Äæ., Ñòúþàðò À., Ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû è ñâÿçè. Ì.: Íàóêà, 1973. - 900 ñ. 
11. Ñåáåð Äæ. Ëèíåéíûé ðåãðåññèîííûé àíàëèç. - Ì.: Ìèð, 1980. - 456 ñ.
12. Àéâàçÿí Ñ.À., Åíþêîâ È.Ñ., Ìåøàëêèí Ë.Ä. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà: Îñíîâû ìîäåëèðîâàíèÿ è ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà äàííûõ. - Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà. 1983. - 472 ñ. 
13. Áîðåëü Ý. Âåðîÿòíîñòü è äîñòîâåðíîñòü. - Ì.: ÃÈÔÌË, 1961. - 120 ñ.
14. Орлов А.И. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы. – Журнал «Заводская лаборатория». 1995. Т.61. No.5. С.43-51.
15. Âåðîÿòíîñòü è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà: Ýíöèêëîïåäèÿ / Ãë. ðåä. Þ.Â. Ïðîõîðîâ. - Ì.: Áîëüøàÿ Ðîññèéñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1999. - 910 ñ.
16. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы и экспертные оценки. – В сб.: Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1979. - С.17-33.
17. Орлов А.И. Случайные множества с независимыми элементами (люсианы) и их применения. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. - С. 287-308. 
18. Орлов А.И. Парные сравнения в асимптотике Колмогорова. – В сб.: Экспертные оценки в задачах управления. - М.: Изд-во Института проблем управления АН СССР, 1982. - С. 58-66.
19. Орлов А.И. Логистическое распределение. – В сб.: Математическая энциклопедия. Т.3. - М.: Советская энциклопедия, 1982. - С.414.
20. Îðëîâ À.È. Î íåöåëåñîîáðàçíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ èòåðàòèâíûõ ïðîöåäóð íàõîæäåíèÿ îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. - Æóðíàë «Çàâîäñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ». 1986. Ò.52. No.5. Ñ.67-69.
21. Áîëüøåâ Ë.Í., Ñìèðíîâ Í.Â. Òàáëèöû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. - Ì.: Íàóêà, 1983 (3-å èçä.). - 474 ñ.
22. Òþðèí Þ.Í., Âàñèëåâè÷ À.Ï., Àíäðóêîâè÷ Ï.Ô. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè ðàíæèðîâàíèÿ. - Â ñá.: Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû àíàëèçà ýêñïåðòíûõ îöåíîê. - Ì.: Íàóêà, 1977. - Ñ.30-58.
23. Ðàóøåíáàõ Ã.Â. Ìåðû áëèçîñòè è ñõîäñòâà. - Â ñá.: Àíàëèç íå÷èñëîâîé èíôîðìàöèè â ñîöèîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. - Ì.: Íàóêà, 1985. - Ñ.169-203. 
24. Êåìåíè Äæ., Ñíåëë Äæ. Êèáåðíåòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå: Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ. - Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1972. - 192 ñ. 
25. Ïðîõîðîâ Þ.Â., Ðîçàíîâ Þ.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû). - Ì.: Íàóêà, 1973.- 496 ñ.  
26. Кривцов В.С., Орлов А.И., Фомин В.Н. Современные статистические методы в стандартизации и управлении качеством продукции. – Журнал «Стандарты и качество». 1988. No.3. С.32-36.
27. Орлов А.И. Асимптотика решений экстремальных статистических задач. – В сб.: Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сборник трудов. Вып.10. - М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1982. - С. 4-12.
28. Орлов А.И. Асимптотическое поведение статистик интегрального типа. – В сб.: Вероятностные процессы и их приложения. Межвузовский сборник. - М.: МИЭМ, 1989. С.118-123.
29. Êåëëè Äæ. Îáùàÿ òîïîëîãèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1968. - 384 ñ.
30. Жихарев В.Н., Орлов А.И. Законы больших чисел и состоятельность статистических оценок в пространствах произвольной природы. – В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. – Пермь: Изд-во Пермского государственного  университета, 1998. С.65-84.
31. Орлов А.И. Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах. – В сб.: Прикладная статистика. Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. - С. 12-40. 
32. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с.